DSE 數學必學：sum of gs formula（等比數列求和公式）完整指南

概述

在 DSE 數學科中，sum of gs formula（等比數列求和公式）是「數列與級數」單元的核心內容，幾乎每年都會出現在卷一或卷二。無論是計算銀行複利、幾何增長，還是解決試卷中的應用題，掌握這個公式都是不可或缺的。本文會以香港課程為基準，用淺白語言解釋公式的由來、用法、常見錯誤，並提供實戰練習建議，幫助學生穩奪分數。

什麼是等比數列（Geometric Sequence）？

等比數列是指每一項與前一項的比值（稱為公比，常用 (r) 表示）保持不變的數列。例如：

• 2, 6, 18, 54, ...（公比 (r = 3)）
• 100, 50, 25, 12.5, ...（公比 (r = 0.5)）

第 (n) 項的通項公式為：

[ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} ]

其中 (a_1) 是首項。

sum of gs formula 的兩種形式

等比數列求和公式（sum of gs formula）分為「有限項」和「無限項」兩種，DSE 課程涵蓋前者，後者則在延伸部分（M1/M2）或選修中出現。

1. 有限項求和公式（(n) 項之和）

[ S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \neq 1) ]

或等效寫法：

[ S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1} ]

兩者結果相同，使用時視乎 (r) 的大小選擇較方便的版本。

2. 無限項求和公式（收斂條件 (|r| < 1)）

[ S_\infty = \frac{a_1}{1 - r} ]

此公式僅在公比的絕對值小於 1 時適用，否則級數會發散，沒有有限和。

公式的由來（簡單推導）

設 (S_n = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \cdots + a_1 r^{n-1})

將兩邊乘以 (r)：

[ rS_n = a_1 r + a_1 r^2 + \cdots + a_1 r^n ]

兩式相減（(S_n - rS_n)）：

[ S_n(1 - r) = a_1 - a_1 r^n ]

除以 ((1 - r)) 即得公式。這個推導過程在 DSE 卷二多項選擇題中偶爾會以「證明」形式出現，理解後記憶更牢固。

何時使用哪個公式？

情況一：已知首項、公比和項數

直接代入 (S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r})。例如：求 3, 6, 12, 24 的和，(a_1 = 3, r = 2, n = 4)，(S_4 = \frac{3(1 - 2^4)}{1 - 2} = 45)。

情況二：已知首項、公比和最後一項

若知道第 (n) 項 (a_n)，可先用 (a_n = a_1 r^{n-1}) 求出 (n)，再代入求和公式。

情況三：無限項求和

當題目指明「無限項之和」或「所有項之和」，且 (|r| < 1)，使用 (S_\infty = \frac{a_1}{1 - r})。

DSE 常見題型與陷阱

題型 1：直接計算有限項和

這類題目最簡單，但要注意 (r) 可以是分數或負數。例如 (r = -\frac{1}{2}) 時，公式中的 (r^n) 會正負交替，計算時要小心符號。

題型 2：應用題（如銀行利息）

經典例子：存款 $10,000，年利率 5%，複利計算，問 10 年後總額？這其實是等比數列求第 11 項，而非求和。但若問「每年存入相同金額」則會用到求和公式。學生常混淆「單利」和「複利」，務必看清題目。

題型 3：無限項求和與圖形題

例如：一個等邊三角形邊長 1，無限次將各邊中點連成新三角形，求所有三角形面積之和。這需要先寫出各三角形面積的等比數列，再套用無限項公式。

常見陷阱

• 公比 (r = 1)：公式分母為零，此時 (S_n = n a_1)，必須分開處理。
• 無限項收斂條件：若 (|r| \geq 1)，無限項和不存在，切勿亂用公式。
• 項數 (n) 的計算：例如數列由第 3 項到第 10 項，項數是 8 而不是 7，容易出錯。

學習建議與練習資源

1. 熟記公式：每天默寫公式兩次，連同適用條件。
2. 多做歷屆試題：DSE 2016 年卷一第 9 題、2019 年卷二第 23 題等均為典型考法，可重點練習。
3. 圖像化理解：畫出等比數列的圖像，觀察增長/衰減趨勢，有助判斷收斂性。
4. 相關資源：可參考本校的 數學學習指南 及 中學數學練習，內含更多數列題目。

結語

sum of gs formula 是 DSE 數學的必殺技，只要理解推導、牢記兩種形式、小心陷阱，就能輕鬆應對。建議同學每天花 15 分鐘做一至兩題相關練習，持之以恆必見成效。若家長想協助子女溫習，可從簡單的有限項求和開始，再逐步過渡到應用題。

常見問題（FAQ）

Q1: sum of gs formula 和 sum of arithmetic sequence 有何分別？

A: 等比數列（gs）的公比固定，求和公式含有 (r^n)；等差數列的公差固定，求和公式為 (S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d])。兩者不可混淆，解題前先判斷數列類型。

Q2: 無限項求和公式何時適用？

A: 僅當公比 (r) 的絕對值小於 1（即 (-1 < r < 1)）時，無限項之和才收斂至 (\frac{a_1}{1 - r})。若 (|r| \geq 1)，級數發散，沒有有限和。

Q3: 如果公比是負數，公式仍可用嗎？

A: 可以。負公比會使數列正負交替，但求和公式依然成立，只需小心計算 (r^n) 的符號。例如 (r = -2, n = 3) 時，(r^n = -8)。

Q4: 如何快速判斷一個數列是否等比？

A: 檢查任意連續三項，若中間項的平方等於前後兩項的乘積（即 (a_k^2 = a_{k-1} \cdot a_{k+1})），則為等比數列。

Q5: DSE 考試中，sum of gs formula 通常佔多少分？

A: 每年約有 2-4 分直接或間接涉及此公式，包括選擇題和長題目。雖然比例不算高，但屬必答基礎題，掌握後可穩定取分。