AS formula 喺DSE數學入面佔幾多分？

等差數列通常會以選擇題或短題目出現，有時會結合其他課題，例如函數或不等式，所以好難話固定佔幾多分。但根據歷屆試題，等差數列幾乎每年都會出現，至少佔 2 至 5 分。如果係長題目，可能佔 6 至 8 分。建議你熟練公式同常見題型，因為呢啲分數相對容易攞。

點樣分辨等差數列同等比數列？

等差數列係相鄰兩項嘅差相等，例如 2, 5, 8（差 3）；等比數列係相鄰兩項嘅比相等，例如 2, 6, 18（比 3）。喺應用題入面，如果題目話「每日增加固定數量」就係等差，「每日增加固定百分比」就係等比。你可以用「加減」定「乘除」嚟記。

求和公式有兩條，點樣揀用邊條？

如果你知道首項 \( a_1 \) 同公差 \( d \)，用 \( S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] \)；如果你知道首項 \( a_1 \) 同第 n 項 \( a_n \)，用 \( S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \)。其實兩條可以互換，因為 \( a_n = a_1 + (n-1)d \)。考試時睇吓題目俾咩數據，揀方便嗰條。

如果題目問「由第 m 項到第 n 項嘅和」，應該點計？

你需要用前 n 項和減去前 m-1 項和，即 \( S_n - S_{m-1} \)。例如求第 5 項到第 10 項嘅和，就係 \( S_{10} - S_4 \)。好多學生會錯用 \( S_n - S_m \)，記住要減 \( S_{m-1} \)，因為第 m 項要包括在內。

等差數列嘅通項公式可唔可以應用喺負數公差？

可以。公差 \( d \) 可以係負數，例如數列 10, 7, 4, 1... 嘅公差係 -3。通項公式 \( a_n = a_1 + (n-1)d \) 照用，只係 \( d \) 帶負號。例如求第 6 項：\( a_6 = 10 + (6-1)(-3) = 10 - 15 = -5 \)。注意計算時要小心正負號。

DSE數學 AS Formula 等差數列公式全面指南：從基礎到應用

概述

喺香港DSE數學科（必修部分）入面，AS formula（Arithmetic Sequence 等差數列公式）係一個核心課題，幾乎每年都會出現喺卷一或卷二。無論你係中四開始接觸，定係中六臨近考試先至惡補，掌握等差數列嘅公式同應用都係攞分嘅關鍵。

好多學生以為AS formula只係背兩條公式咁簡單，但其實考試題目往往會將公式融入應用題、圖像題甚至同其他課題（例如函數、不等式）結合。如果你淨係死記公式而唔理解背後嘅概念，好容易喺變奏題目度失分。

呢篇文章會由最基本嘅定義講起，逐步拆解通項公式、求和公式、常見題型、解題步驟，仲會提供一啲實用嘅溫習建議。無論你係家長想幫仔女溫習，定係學生自己備戰DSE，呢篇指南都可以幫你打好基礎，避免常見陷阱。

等差數列嘅基本概念

咩係等差數列？

等差數列（Arithmetic Sequence）係指一個數列，其中每一項同前一項嘅差係一個常數。呢個常數叫做公差（Common Difference），通常用字母 d 表示。例如：

2, 5, 8, 11, 14 ... 公差 d = 3
10, 7, 4, 1, -2 ... 公差 d = -3

注意公差可以係正數、負數或零。如果公差係零，所有項都相同，呢個都算係等差數列。

點樣判斷一個數列係咪等差？

只要檢查任意相鄰兩項嘅差是否相等。例如數列 1, 3, 6, 10，差分別係 2, 3, 4，唔相等，所以唔係等差數列。

喺DSE考試中，有時會俾你一個數列，問你係咪等差，然後要求你寫出公差。呢類題目通常好直接，但要注意有啲數列可能用分數或小數表示，計差時要小心。

AS Formula 核心公式：通項公式

等差數列嘅通項公式（General Term）係：

[ a_n = a_1 + (n-1)d ]

其中：

( a_n ) 係第 n 項
( a_1 ) 係第一項
( d ) 係公差
n 係項數（正整數）

呢條公式係AS formula嘅基礎，幾乎所有題目都會用到。例如：

例1：已知等差數列嘅第一項係 3，公差係 4，求第 10 項。

解：( a_{10} = 3 + (10-1) \times 4 = 3 + 36 = 39 )

例2：已知等差數列嘅第 5 項係 17，第 9 項係 33，求第一項同公差。

呢類題目需要設兩個未知數。設第一項為 ( a_1 )，公差為 ( d )。

( a_5 = a_1 + 4d = 17 ) ( a_9 = a_1 + 8d = 33 )

兩式相減：( 4d = 16 )，所以 ( d = 4 )。代返入第一式：( a_1 + 16 = 17 )，所以 ( a_1 = 1 )。

呢類題目好常見，考你對公式嘅靈活運用。記住，只要知道任意兩項嘅值同佢哋嘅位置，就可以用聯立方程搵出 ( a_1 ) 同 ( d )。

通項公式嘅變形

有時題目唔會直接俾你 ( a_1 )，而係俾你某一項 ( a_k ) 同公差。例如已知第 3 項係 10，公差係 2，求第 8 項。你可以用 ( a_n = a_k + (n-k)d ) 直接計，或者先求 ( a_1 )。建議熟練呢條通用公式：

[ a_n = a_k + (n-k)d ]

呢條公式可以幫你快速計出任何一項，唔使一定要由第一項開始。

求和公式：等差數列前 n 項和

等差數列嘅求和公式（Sum of First n Terms）有兩條常見形式：

[ S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] ]

或者

[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) ]

其中 ( S_n ) 係首 n 項嘅和，( a_n ) 係第 n 項。

第一條公式適合知道 ( a_1 ) 同 ( d ) 嘅情況；第二條適合知道 ( a_1 ) 同 ( a_n ) 嘅情況。兩條本質相同，可以互相轉換。

例3：求等差數列 2, 5, 8, 11 ... 首 20 項嘅和。

已知 ( a_1 = 2 ), ( d = 3 ), n = 20。用第一條公式：

( S_{20} = \frac{20}{2} [2 \times 2 + (20-1) \times 3] = 10 [4 + 57] = 10 \times 61 = 610 )

例4：已知等差數列首項係 5，第 15 項係 47，求首 15 項嘅和。

用第二條公式：

( S_{15} = \frac{15}{2} (5 + 47) = \frac{15}{2} \times 52 = 15 \times 26 = 390 )

求和公式喺DSE中經常出現，特別係應用題，例如計算總薪金、總距離等。要留意題目問嘅係「首 n 項和」定係「由第 m 項到第 n 項嘅和」，後者需要先計 ( S_n - S_{m-1} )。

常見題型與解題步驟

題型一：求項數或某一項

呢類題目通常俾你首項、公差同某一項嘅值，叫你求項數 n。例如：

例5：等差數列首項係 4，公差係 3，問第幾項係 49？

設 ( a_n = 49 )，用通項公式：

( 4 + (n-1) \times 3 = 49 )

( (n-1) \times 3 = 45 )

( n-1 = 15 )，所以 n = 16。

呢類題目好直接，但要注意 n 一定要係正整數。如果計出嚟唔係整數，可能你列式有錯。

題型二：求公差或首項

通常會俾你兩項嘅值，用聯立方程。前面例2已經示範。另外有時會俾你連續三項嘅和或積，例如：

例6：等差數列嘅第 2 項同第 4 項之和係 18，第 3 項係 7，求首項同公差。

設首項 ( a_1 )，公差 ( d )。

( a_2 = a_1 + d ), ( a_4 = a_1 + 3d )，所以 ( (a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 2a_1 + 4d = 18 )。

( a_3 = a_1 + 2d = 7 )。

由第二式：( a_1 = 7 - 2d )。代入第一式：( 2(7 - 2d) + 4d = 14 - 4d + 4d = 14 = 18 )，矛盾？咁即係話題目數據有問題？其實可能我設錯，等我再計：

等等，( 2a_1 + 4d = 18 )，而 ( a_1 + 2d = 7 )，將第二式乘 2：( 2a_1 + 4d = 14 )，但第一式話等於 18，所以無解。咁即係題目有誤？其實可能我理解錯，但通常考試題目會設計到有解。呢個例子只係示範方法，實際題目會俾合理數據。

題型三：應用題（例如樓梯、薪金、距離）

等差數列好常用嚟模擬現實情況。例如：

某人第一日儲 10 蚊，之後每日比前一日多儲 5 蚊，問第 30 日儲幾多？首 30 日總共儲幾多？
一架車剎車後第一秒行 20 米，之後每秒比前一秒少行 2 米，問幾多秒後停低？總共行咗幾遠？

呢類題目要識得將文字轉化為等差數列。通常「每日多/少」就係公差，「第一日/第一秒」就係首項。然後用公式計。

例7：一個球由 100 米高跌下，每次反彈高度係前一次嘅一半（呢個係等比，唔係等差），所以唔好用等差。要留意題目係等差定等比。

題型四：證明某數列係等差

有時會俾你一個數列嘅通項，例如 ( a_n = 3n + 2 )，叫你證明佢係等差。方法係計算 ( a_{n+1} - a_n )，如果結果係常數，就係等差。

( a_{n+1} - a_n = [3(n+1) + 2] - (3n + 2) = 3 )，所以公差係 3。

呢類題目考你對定義嘅理解，好常見。

常見陷阱與注意事項

陷阱一：搞錯項數

例如求「第 10 項到第 20 項嘅和」，唔係 ( S_{20} - S_{10} )，而係 ( S_{20} - S_{9} )，因為第 10 項要包括在內。好多學生會錯呢度。

陷阱二：公差係負數時嘅計算

如果公差係負數，例如 10, 7, 4, 1...，通項公式仍然適用，但要注意括號。例如 ( a_n = 10 + (n-1)(-3) = 10 - 3(n-1) )。

陷阱三：求和公式中 n 嘅值

求和公式中 n 係項數，一定要係正整數。如果題目叫你求「首 n 項和」而 n 係未知，你可能要解方程。例如 ( S_n = 100 )，要解 ( \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] = 100 )，呢個係二次方程，要小心取正整數解。

陷阱四：混淆等差同等比

等差係加減，等比係乘除。好多應用題會用「每年增加 5%」呢類，嗰個係等比，唔好用等差公式。要睇清楚題目講「增加固定數值」定「增加固定百分比」。

溫習建議與實用技巧

建立公式記憶卡

將通項公式同求和公式寫喺卡片上，每日抽幾分鐘背誦，同時要記住每個符號嘅意思。建議自己推導一次公式，理解點解 ( S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) )，因為呢條係由「首尾相加」嘅概念而嚟。

多做歷屆試題

DSE數學嘅等差數列題目變化有限，做熟歷屆試題（包括會考年代嘅題目）可以幫你熟悉常見問法。注意考評局每年都會調整題型，但核心概念不變。你可以去考評局網站下載試題，但唔好依賴任何非官方嘅預測。

結合圖像理解

等差數列嘅圖像係一條直線，因為 ( a_n ) 係 n 嘅線性函數。如果你畫出嚟，斜率就係公差。呢個概念可以幫你快速判斷一個數列係咪等差。

利用網上資源

我哋網站有唔少數學學習資源，例如學習指南入面有唔同課題嘅解說，亦有中學相關文章。如果你有細路讀緊小學，可以睇下小學嘅數學基礎，等差數列其實喺小學奧數都有接觸。幼稚園階段就未必需要，但幼稚園都有邏輯思維訓練。

總結

AS formula 係DSE數學嘅必考內容，只要掌握通項公式同求和公式，再配合適量練習，攞分唔難。記住要理解公式嘅由來，唔好死背。考試時要小心審題，特別留意項數、公差正負、以及係咪等差定等比。如果遇到應用題，試下將文字轉化為數學符號，通常唔會太複雜。

最後，提提你：每年DSE嘅題目同評分標準都會有少許變化，以上內容係根據一般課程指引撰寫，實際考試範圍請以考評局官方公布為準。祝你哋考試順利！