AS GS Formula 全攻略：DSE 數學必修公式與應用技巧

概述

喺香港 DSE 數學科（必修部分）入面，AS GS Formula（Arithmetic Sequence and Geometric Sequence Formulas，即等差數列與等比數列公式）係其中一個最核心、最常考嘅課題。無論係卷一的長題目，定係卷二的選擇題，AS GS 嘅概念同公式都無處不在。對於唔少學生嚟講，呢啲公式看似簡單，但喺實際應用時，特別係處理「混合題型」或者「情境應用題」嘅時候，往往會因為記錯公式、搞亂符號，或者忽略咗數列嘅特性而失分。

呢篇文章會為你詳細拆解 AS GS formula 嘅每一個細節，由基本定義、公式推導，到進階應用技巧同常見陷阱，一次過幫你整理清楚。無論你係中四開始接觸呢個課題，定係中六臨近文憑試想最後衝刺，呢篇指南都能夠幫你鞏固基礎，提升答題效率。記得溫書嘅時候，唔好淨係死背公式，要明白公式背後嘅邏輯，先至可以靈活應對考評局嘅千變萬化題型。

等差數列 (Arithmetic Sequence) 嘅核心公式

等差數列嘅特點係每一項同前一項嘅差（Common Difference, d）係一個常數。最常見嘅例子就係：1, 3, 5, 7, ... 呢度嘅 d = 2。

通項公式 (General Term, T(n))

對於一個等差數列，第 n 項（通常寫做 T(n) 或 a(n)）可以用以下公式表示：

T(n) = a + (n-1)d

• a 代表首項（First Term）
• d 代表公差（Common Difference）
• n 代表項數（Term Number）

實例： 如果一個等差數列嘅首項 a = 5，公差 d = 3，咁第 10 項 T(10) = 5 + (10-1) × 3 = 5 + 27 = 32。

好多學生會問：「點解要減 1？」其實好簡單，因為第一項係 a，第二項先至係 a+d，所以第 n 項係由首項加 (n-1) 次公差。呢個概念好重要，喺做應用題嘅時候，要識得分辨「第幾項」同「項數」。

前 n 項和公式 (Sum of First n Terms, S(n))

等差數列嘅前 n 項和 S(n) 有兩個常用公式：

S(n) = n/2 × [2a + (n-1)d]

或者

S(n) = n/2 × (a + L)

• L 代表最後一項（Last Term），即係 T(n)

第二個公式特別好用，因為佢只需要知道首項、尾項同項數，就可以快速計到總和。呢個公式嘅推導方法（倒序相加法）亦係一個經典數學思維，值得理解。

實例： 求 2 + 5 + 8 + 11 + ... 嘅首 20 項之和。

首先，a = 2，d = 3，n = 20。 用第一個公式：S(20) = 20/2 × [2×2 + (20-1)×3] = 10 × (4 + 57) = 610。

等比數列 (Geometric Sequence) 嘅核心公式

等比數列嘅特點係每一項同前一項嘅比（Common Ratio, r）係一個常數。例子：2, 6, 18, 54, ... 呢度嘅 r = 3。

通項公式 (General Term)

等比數列嘅第 n 項 T(n) 公式係：

T(n) = a × r^(n-1)

• a 係首項
• r 係公比（Common Ratio）

注意： 呢度嘅 r 可以係正數、負數、分數，甚至係零（但通常唔會係零，因為咁樣數列會變成 0, 0, 0...）。如果 r 係負數，數列嘅項會正負交替，呢個係常見嘅考點。

前 n 項和公式 (Sum of First n Terms)

等比數列嘅前 n 項和 S(n) 公式係：

S(n) = a × (1 - r^n) / (1 - r) （當 r ≠ 1）

或者寫成：

S(n) = a × (r^n - 1) / (r - 1)

兩個公式其實一樣，只係分子分母同時乘以 -1。揀邊個用？如果你見到 r > 1，用第二個會方便啲（避免負數）；如果 r < 1，用第一個會順手啲。

實例： 求 3 + 6 + 12 + 24 + ... 嘅首 8 項之和。

a = 3，r = 2，n = 8。 S(8) = 3 × (2^8 - 1) / (2 - 1) = 3 × (256 - 1) = 765。

無限等比數列求和 (Sum to Infinity)

呢個係 DSE 數學嘅進階位，亦係好多學生容易混淆嘅地方。當 |r| < 1（即 r 嘅絕對值細過 1）時，隨住 n 趨向無限大，r^n 會趨向 0，所以無限項之和 S(∞) 存在，公式係：

S(∞) = a / (1 - r)

重要條件： 只有當 -1 < r < 1 且 r ≠ 0 時，先至可以用呢條公式。如果 |r| ≥ 1，數列會發散，冇有限和。呢個條件喺答題時一定要寫出嚟，否則會被扣分。

常見題型與解題策略

喺 DSE 卷入面，AS GS 嘅題目通常唔會淨係叫你代公式，而係會將概念融入情境，考你嘅理解同應用能力。以下係幾個最常見嘅題型：

1. 求項數或公差/公比

呢類題目通常會俾你某幾項嘅值，叫你求首項、公差/公比或者項數。

解題技巧： 建立方程組。例如，知道 T(3) = 10 同 T(7) = 26，可以寫出：

a + 2d = 10 a + 6d = 26

然後聯立方程，解得 a = 2，d = 4。

2. 等差中項與等比中項

如果三個數 x, y, z 成等差數列，咁 y = (x+z)/2，即係 y 係 x 同 z 嘅算術平均數。

如果三個數 x, y, z 成等比數列，咁 y² = xz，即係 y 係 x 同 z 嘅幾何平均數。

呢啲性質好多時用嚟設未知數，例如設三個數為 a-d, a, a+d（等差）或者 a/r, a, ar（等比），可以簡化運算。

3. 應用題（銀行利息、折舊、增長）

• 單利息 其實係等差數列嘅應用，每年利息固定。
• 複利息 就係等比數列嘅應用，本金每年按固定比率增長。
• 折舊 都係等比數列，價值每年按固定百分比減少。

遇到呢類題目，首先要判斷係等差定等比，然後先至揀啱公式。通常題目會用「每年增加相同數量」暗示等差，用「每年增加相同百分比」暗示等比。

4. 混合數列（等差+等比）

呢類題目比較刁鑽，例如一個數列嘅每一項係一個等差數列同一個等比數列嘅對應項之和。呢種情況通常要用「分組求和」或者「錯位相減法」嚟處理，但呢啲技巧喺 DSE 必修部分較少出現，多數喺延伸部分（M1/M2）先至會深入考。不過，基礎嘅混合題仍然要識得拆解。

答題陷阱與注意事項

以下係歷屆考生最常犯嘅錯誤，你一定要避開：

陷阱	正確做法
混淆 T(n) 同 S(n)	T(n) 係第 n 項，S(n) 係首 n 項之和，睇清楚題目問咩
忘記 r ≠ 1 嘅條件	用等比求和公式前，一定要檢查 r 係咪等於 1；如果 r = 1，S(n) = na
無限項求和冇寫條件	必須寫明「因為
計算 r 嘅時候搞錯方向	r = T(2)/T(1) = T(3)/T(2)，一定要用後項除以前項
忽略負數公比	如果 r 係負數，項嘅正負會交替，求和時要小心符號
冇化簡分數	最終答案通常要係最簡分數或者小數，視乎題目要求

另外，喺答題嘅時候，記得要「show steps」。DSE 評分係按步驟俾分，即使最終答案錯，只要步驟正確，都可以攞到部分分數。所以千祈唔好淨係寫答案，要將公式同代入過程清楚列出。

溫習建議與資源

要熟練掌握 AS GS formula，淨係睇公式表係唔夠嘅，必須要透過大量練習先至可以內化。以下係幾個實用嘅溫習建議：

1. 製作公式卡： 將等差、等比嘅通項、求和、無限項求和公式寫喺卡片上，每日抽幾分鐘背誦同默寫。
2. 分類練習： 唔好盲目做題，要按題型分類練習。例如今日專攻「求項數」，聽日專攻「應用題」。
3. 計錯本： 將自己做錯嘅題目抄低，分析錯因（係公式錯、計算錯定係概念錯），定期重做。
4. 真題操練： 考評局嘅歷屆試題係最寶貴嘅資源，特別係 2012 年之後嘅文憑試題目，可以了解出題趨勢同難度。

如果你想了解更多關於 DSE 數學嘅溫習策略，可以參考我哋嘅 DSE 數學溫習指南。另外，如果你有細路仔啱啱開始接觸數學，我哋嘅 小學數學基礎 同 中學數學銜接 文章都有好多實用貼士。對於年紀更細嘅小朋友，幼稚園數學啟蒙 都可以幫佢哋建立對數字嘅興趣。

總結

AS GS formula 係 DSE 數學嘅基石，唔單止喺數列題目直接出現，仲會滲透到其他課題，例如函數、微積分（M1/M2）等。掌握呢啲公式嘅關鍵在於「理解」多於「背誦」。你要清楚知道每一條公式嘅由來、適用條件同限制，先至可以喺考試嘅緊張環境下準確無誤地運用。

記住以下口訣：

• 等差通項：a + (n-1)d
• 等差求和：n/2 (a+L) 或者 n/2 [2a+(n-1)d]
• 等比通項：a r^(n-1)
• 等比求和：a(1-r^n)/(1-r)
• 無限等比和：a/(1-r)，記住 |r|<1

最後，數學係一門需要持之以恆嘅學科，每日花少少時間做幾題數列練習，遠比臨急抱佛腳有效。祝你喺 DSE 數學科取得佳績！

常見問題 (FAQ)

1. AS GS 係咪即係等差數列同等比數列？

係嘅。AS 係 Arithmetic Sequence（等差數列）嘅縮寫，GS 係 Geometric Sequence（等比數列）嘅縮寫。喺香港 DSE 課程入面，呢兩個課題通常一齊教，因為佢哋嘅公式結構相似，但性質好唔同，所以好多時會對比住嚟學。

2. 無限等比數列求和公式有咩限制？

無限等比數列求和公式 S(∞) = a/(1-r) 只適用於公比 r 嘅絕對值細過 1（即 -1 < r < 1）嘅情況。如果 |r| ≥ 1，數列會無限增大或者震盪，冇一個有限嘅總和，所以唔可以用呢條公式。答題時必須寫出呢個條件，否則會被扣分。

3. 點樣快速判斷一條數列係等差定等比？

你可以睇下相鄰兩項嘅關係：如果每一項減前一項都得到同一個常數，就係等差數列；如果每一項除以前一項都得到同一個常數（且唔為零），就係等比數列。例如：2, 5, 8, 11 係等差（差係 3）；2, 6, 18, 54 係等比（比係 3）。

4. 等差數列求和公式 S(n) = n/2 [2a+(n-1)d] 點樣推導出嚟？

呢個公式係用「倒序相加法」推導。將數列正序寫一次，再倒序寫一次，然後將兩行對應項相加，你會發現每一對嘅和都係 a + L（首項加尾項），一共有 n 對，所以 2S(n) = n(a+L)，即 S(n) = n/2 (a+L)。再將 L = a+(n-1)d 代入，就得到另一個形式。

5. 喺 DSE 考試入面，AS GS 通常佔幾多分？

根據歷屆試題分析，AS GS 相關題目通常會喺卷一（長題目）出現一條約 4-7 分嘅題目，卷二（選擇題）亦會有一至兩題，合共大約佔全卷 5-8% 左右。雖然比例唔算好高，但呢個課題相對容易攞分，而且係其他進階課題嘅基礎，所以絕對唔可以忽視。