Sequence Formula 全面指南：DSE 數學數列公式精讀與應用
掌握 DSE 數學數列（Sequence）必考公式！本文深入淺出講解等差數列、等比數列、求和公式及常見題型，附實用例題與溫習貼士，助你提升 sequence formula 應用能力，在考試中穩奪分數。
目錄
概述
在 DSE 數學科中，數列（Sequence） 是一個佔分不少、而且相對容易掌握的課題。無論是等差數列（Arithmetic Sequence）還是等比數列（Geometric Sequence），只要熟練運用相關的 sequence formula，就能夠快速解題。很多同學覺得數列公式又多又雜，其實只要理解公式背後的邏輯，配合適當練習，就能夠輕鬆應付。本文會為你整理所有必考的數列公式，並附上典型例題及常見陷阱，助你喺考試前做好準備。
等差數列公式（Arithmetic Sequence Formula）
等差數列係指每一項與前一項的差（Common Difference）保持不變的數列。最經典的例子就係 2, 5, 8, 11, ...，每一項都加 3。
通項公式（General Term）
等差數列的第 n 項（aₙ）可以用以下公式表示：
aₙ = a₁ + (n - 1)d
其中：
- a₁ 係首項（First Term）
- d 係公差（Common Difference）
- n 係項數（Term Number）
呢條公式係等差數列嘅核心，所有題目都離唔開佢。例如：已知 a₁ = 3，d = 4，求第 10 項。代入公式：a₁₀ = 3 + (10 - 1) × 4 = 3 + 36 = 39。
求和公式（Sum of First n Terms）
等差數列首 n 項之和（Sₙ）有兩條常用公式：
Sₙ = n/2 × [2a₁ + (n - 1)d]
或
Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ)
第二條公式特別好用，因為只需要首項同尾項。例如：求 1 到 100 嘅總和，a₁ = 1，a₁₀₀ = 100，n = 100，所以 S₁₀₀ = 100/2 × (1 + 100) = 50 × 101 = 5050。
常見題型與陷阱
- 求項數：有時題目會問「呢個數列有幾多項？」你需要用通項公式設 aₙ = 某數，然後解 n。
- 公差為負數：例如 10, 7, 4, ...，d = -3，要小心正負號。
- 三個連續項：如果知道三個連續項之和，可以設中間項為 x，前後項分別為 x - d 和 x + d，咁就可以快速列方程。
等比數列公式（Geometric Sequence Formula）
等比數列係指每一項與前一項的比（Common Ratio）保持不變的數列，例如 3, 6, 12, 24, ...，每一項都乘 2。
通項公式
等比數列的第 n 項（aₙ）公式：
aₙ = a₁ × r^(n - 1)
其中：
- a₁ 係首項
- r 係公比（Common Ratio）
- n 係項數
例如：a₁ = 2，r = 3，求第 5 項：a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162。
求和公式（有限項）
首 n 項之和（Sₙ）公式：
Sₙ = a₁ × (1 - rⁿ) / (1 - r)（當 r ≠ 1）
或者寫成：Sₙ = a₁ × (rⁿ - 1) / (r - 1)
兩條公式等價，揀邊條視乎你習慣。例如：a₁ = 1，r = 2，n = 5，S₅ = 1 × (1 - 2⁵) / (1 - 2) = (1 - 32) / (-1) = 31。
無限等比數列求和（Sum to Infinity）
當 |r| < 1 時，無限項之和存在，公式係：
S∞ = a₁ / (1 - r)
呢條公式喺 DSE 中經常出現，特別係循環小數轉分數嘅題目。例如：0.333... = 0.3 + 0.03 + 0.003 + ...，a₁ = 0.3，r = 0.1，所以 S∞ = 0.3 / (1 - 0.1) = 0.3 / 0.9 = 1/3。
等比數列常見陷阱
- 公比為分數：例如 1, 1/2, 1/4, ...，r = 1/2，要懂得處理分數運算。
- 公比為負數：例如 1, -2, 4, -8, ...，r = -2，符號會交替，求和時要小心。
- 無限項收斂條件：只有當 |r| < 1 時先可以用無限求和公式，否則會發散。
數列公式的實際應用與解題策略
喺 DSE 考試中，數列題目通常會以應用題形式出現，例如銀行儲蓄、人口增長、摺紙厚度等。掌握 sequence formula 之後，你需要懂得將文字轉化為數學模型。
解題步驟
- 辨認數列類型：睇下每一項係加定乘，判斷係等差定等比。
- 列出已知條件：寫低 a₁、d 或 r、n 等數值。
- 選擇合適公式：根據題目要求（通項、求和、無限項）揀啱公式。
- 代入計算：小心處理分數、負數同指數。
- 檢查答案：用細 n 值驗算，確保合理。
常見應用例子
- 銀行定期存款：每月存入固定金額，總額可以用等差求和。
- 細菌繁殖：數量每小時翻倍，屬於等比數列。
- 折紙問題：每次對摺，厚度乘以 2，可以用等比通項公式。
DSE 數列題型分析與溫習貼士
根據歷屆試題，數列題目通常佔 5-10 分，常見題型包括：
- 求通項或特定項
- 求首 n 項之和
- 判斷數列類型
- 無限等比數列求和
- 應用題（如利息、增長）
溫習建議
- 背熟公式：將所有 sequence formula 寫喺一張卡上，每日默寫一次。
- 做歷屆試題：特別係 Paper 1 嘅長題目，練習完整作答。
- 留意陷阱：例如等差數列嘅公差可以係負數，等比數列嘅公比可以係分數。
- 使用圖像輔助：將數列嘅項畫出嚟，有助理解增長趨勢。
如果你需要更多數學溫習資源，可以參考我哋嘅 中學 專區，或者睇下 選校指南 了解各校數學科嘅教學特色。
常見錯誤與避免方法
好多同學喺運用數列公式時會犯以下錯誤：
- 混淆 n 同 n-1：通項公式入面係 (n-1)d，唔好寫錯。
- 求和公式用錯：等差求和係 n/2，等比求和係 a₁(1-rⁿ)/(1-r)，千祈唔好混淆。
- 忽略 r = 1 嘅情況：等比求和公式喺 r = 1 時無意義，要分開處理。
- 無限項條件：未檢查 |r| < 1 就用無限求和公式，會計出錯。
實用小貼士
- 做題時先寫低公式，再代入數值，減少出錯。
- 如果時間容許，可以用細 n 值驗算，例如 n = 1 或 n = 2。
- 多練習不同題型，特別係混合題（等差加等比）。
總結
Sequence formula 係 DSE 數學嘅必考內容，只要熟練掌握等差同等比數列嘅通項同求和公式，加上足夠練習，就能夠穩陣攞分。記住要理解公式背後嘅邏輯，唔好死記硬背。希望呢篇指南可以幫到你！如果想了解更多數學技巧，歡迎瀏覽我哋網站其他文章，例如 小學 或 幼稚園 嘅數學啟蒙資源。
祝你考試順利，數學成績突飛猛進！