Incentre Formula 全面解構：DSE 數學三角形內心座標與距離計算

概述

喺 DSE 數學嘅座標幾何題目中，三角形嘅「內心」（incentre）係一個經常出現但又容易令學生混淆嘅概念。所謂內心，就係三角形三條內角平分線嘅交點，亦係三角形內切圓嘅圓心。計算內心嘅位置，最直接嘅方法就係運用 incentre formula。呢條公式看似簡單，但實際應用時有好多細節位，例如點樣處理三邊長度、點樣由座標推導、點樣避免計算錯誤等等。本文會由基礎概念講起，逐步拆解公式嘅推導同應用，再配合 DSE 程度嘅例題同常見陷阱，幫你真正掌握呢個考點。無論你係準備緊 DSE 數學嘅中五、中六學生，定係想幫子女溫習嘅家長，呢篇指南都可以提供清晰嘅解題思路同實用技巧。

咩係內心（Incentre）？同其他「心」有咩分別？

喺三角形入面，有幾個特殊嘅點，包括形心（centroid）、外心（circumcentre）、垂心（orthocentre）同內心（incentre）。好多學生會將佢哋混淆，特別係喺座標題目入面，一見到三角形就亂咁代入公式。

內心嘅定義

內心係三角形三條內角平分線嘅交點，同時亦係內切圓嘅圓心。換句話講，內心到三角形三條邊嘅垂直距離相等，呢個距離就係內切圓嘅半徑。

內心同其他心嘅分別

名稱	定義	常用公式
形心	三條中線交點	三頂點座標平均
外心	三條垂直平分線交點	用圓方程求解
垂心	三條高線交點	用斜率垂直關係
內心	三條角平分線交點	incentre formula

喺 DSE 數學卷中，內心通常會以「求三角形內心座標」或者「求內切圓半徑」嘅形式出現。如果你能夠一眼認出題目係考內心，就可以直接套用公式，慳返好多時間。

Incentre Formula 完整推導同記憶方法

公式內容

設三角形三個頂點為 (A(x_1, y_1))、(B(x_2, y_2))、(C(x_3, y_3))，對應嘅邊長為 (a = |BC|)、(b = |CA|)、(c = |AB|)。咁內心座標 (I) 就係：

[ I = \left( \frac{a x_1 + b x_2 + c x_3}{a + b + c}, \frac{a y_1 + b y_2 + c y_3}{a + b + c} \right) ]

注意：呢度嘅 (a) 係頂點 (A) 對面嘅邊（即邊 (BC)），(b) 係頂點 (B) 對面嘅邊（即邊 (CA)），(c) 係頂點 (C) 對面嘅邊（即邊 (AB)）。換句話講，每個頂點嘅座標要乘嘅係「對面邊」嘅長度，唔係自己相鄰嘅邊。

推導思路（唔使死記）

呢條公式其實係由「角平分線定理」推導出嚟。角平分線定理話：角平分線將對邊分成兩段，比例等於相鄰兩邊嘅比例。透過兩條角平分線嘅交點，就可以解出內心座標。不過喺考試入面，你唔需要重推，只要記住公式嘅結構就得。

記憶口訣

「對邊乘頂點，相加除總長」。即係每個頂點座標乘以佢對面邊嘅長度，然後將三個乘積加埋，再除以三邊長度之和。

實際應用：DSE 常見題型逐步拆解

題型一：俾三頂點座標，求內心座標

例如：三角形 (A(0,0))、(B(4,0))、(C(0,3))。首先計三邊長度：

• (a = |BC| = \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} = 5)
• (b = |CA| = \sqrt{(0-0)^2 + (3-0)^2} = 3)
• (c = |AB| = \sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2} = 4)

然後代入公式：

[ I_x = \frac{5 \cdot 0 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 0}{5+3+4} = \frac{12}{12} = 1 ] [ I_y = \frac{5 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot 3}{12} = \frac{12}{12} = 1 ]

所以內心座標為 ((1,1))。呢個例子係直角三角形，你可以驗證一下：內切圓半徑其實就係 (1)，因為內心到兩條直角邊嘅距離都係 (1)。

題型二：求內切圓半徑

內切圓半徑 (r) 可以用面積公式 (A = rs) 計，其中 (s) 係半周長（即 (\frac{a+b+c}{2})）。喺上面例子，面積 (A = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6)，半周長 (s = \frac{5+3+4}{2} = 6)，所以 (r = \frac{A}{s} = 1)。呢個方法唔需要知道內心座標，但有時題目會要求你同時計座標同半徑，咁你就可以用公式計完座標之後，再計距離。

題型三：已知內心座標同部分頂點，求另一頂點

呢類題目通常會俾你兩個頂點同內心座標，要求第三個頂點。你可以利用內心公式建立方程，然後解方程。例如設 (A(0,0))、(B(4,0))，內心 (I(1,1))，求 (C)。你需要設 (C(x,y))，然後計三邊長度（會包含 (x,y)），再代入公式，得到兩個方程（x 同 y 各一個），解方程即可。呢類題目比較少見，但一旦出現，好多學生會唔知點入手。關鍵係要記住公式中每條邊對應嘅頂點，唔好調亂。

常見錯誤同避坑指南

錯誤一：邊長對應錯頂點

最常見嘅錯誤就係將邊長乘錯頂點。例如將 (a)（即 (BC)）乘咗去 (B) 座標。記住：邊 (a) 對住頂點 (A)，所以 (a) 要乘 (A) 嘅座標。一個簡單嘅檢查方法：如果三角形三邊長度差唔多，咁內心應該接近形心；如果有一條邊特別長，內心會靠近嗰條邊對住嘅頂點。你可以用呢個直覺去驗證答案。

錯誤二：邊長計錯（尤其係根號）

好多學生喺計邊長時會漏咗平方或者開方，特別係當座標有負數時。建議每一步都寫清楚，例如 (|BC| = \sqrt{(x_3-x_2)^2 + (y_3-y_2)^2})，唔好心算。

錯誤三：分母漏咗加總

公式嘅分母係三邊長度之和，有學生會淨係將三個乘積加埋，但唔記得除總長，或者除咗兩次。記住：分子同分母都要完整。

錯誤四：混淆內心同外心

外心公式係用垂直平分線，通常會涉及解聯立方程，同內心公式完全唔同。如果題目話「三條垂直平分線交點」，就係外心，千祈唔好用 incentre formula。

進階技巧：用內心性質快速驗算

除咗直接套公式，你仲可以利用內心嘅幾何性質嚟驗算答案。

性質一：內心到三邊距離相等

如果你已經計到內心座標，可以分別計佢到三條邊嘅距離（用點到直線距離公式），如果三個距離一樣，咁答案好大機會正確。

性質二：內心一定喺三角形內部

呢個聽落好似廢話，但好多學生計完出嚟個點竟然喺三角形外面，咁就一定錯。你可以快速畫個草圖，或者用座標判斷。例如喺上面直角三角形例子，內心 ((1,1)) 明顯喺三角形內部。

性質三：內切圓半徑同面積關係

如果題目要求內切圓半徑，你可以用 (r = \frac{A}{s}) 計，再用點到直線距離驗算。兩者應該一致。

實戰練習：DSE 程度例題

例題 1

三角形 (P(2,3))、(Q(7,1))、(R(4,6))，求內心座標。

解：

先計三邊長度：

• (p = |QR| = \sqrt{(4-7)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34})
• (q = |RP| = \sqrt{(2-4)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13})
• (r = |PQ| = \sqrt{(7-2)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{25+4} = \sqrt{29})

代入公式： [ I_x = \frac{\sqrt{34} \cdot 2 + \sqrt{13} \cdot 7 + \sqrt{29} \cdot 4}{\sqrt{34}+\sqrt{13}+\sqrt{29}} ] [ I_y = \frac{\sqrt{34} \cdot 3 + \sqrt{13} \cdot 1 + \sqrt{29} \cdot 6}{\sqrt{34}+\sqrt{13}+\sqrt{29}} ]

呢度唔需要化簡到小數，考試通常容許保留根號。你可以用計算機計近似值驗算，但最終答案寫根號形式就啱。

例題 2（陷阱題）

三角形 (A(1,1))、(B(5,1))、(C(3,5))，求內心。有學生計到 ((3,2.5))，但呢個係形心，唔係內心。因為形心係三點座標平均，好易計。正確做法要計邊長，然後用 incentre formula。呢個例子提醒你，考試時要睇清楚題目問「內心」定「形心」。

總結同溫習建議

Incentre formula 係 DSE 數學座標幾何入面一個重要但唔算難嘅公式。只要記住「對邊乘頂點，相加除總長」，再配合足夠練習，就可以穩陣攞分。建議你：

1. 自己推導一次公式，理解點解係咁，唔好死記。
2. 做 5-10 條相關題目，涵蓋直角三角形、等腰三角形同任意三角形。
3. 每次計完之後，用「內心到三邊距離相等」呢個性質驗算。
4. 如果遇到唔肯定嘅題目，可以畫圖輔助，特別係選擇題。

如果你需要更多 DSE 數學嘅溫習資源，可以參考我哋嘅 學習指南 同 中學 專區。對於基礎較弱嘅同學，建議先鞏固 小學 階段嘅幾何概念，再逐步上嚟。另外，幼稚園階段嘅小朋友都可以透過遊戲接觸圖形，詳情可以睇 幼稚園 頁面。

最後提提你，DSE 數學卷嘅題目每年都有變化，incentre formula 可能以唔同形式出現，例如同圓方程、直線方程結合。最重要係理解公式背後嘅幾何意義，咁就點變都難你唔倒。

常見問題（FAQ）

問：incentre formula 係咪一定要背？有冇其他方法計內心？

答：喺 DSE 考試入面，incentre formula 係最直接嘅方法，建議一定要熟記。如果你唔想背，可以用角平分線定理，先求一條角平分線方程，再求另一條，然後解聯立方程。但呢個方法計算量較大，容易出錯，而且如果三角形座標唔係整數，會更加麻煩。所以除非你對公式完全冇信心，否則直接用公式係最穩陣。另外，如果你只係需要內切圓半徑，可以用面積除以半周長，唔一定要計內心座標。

問：如果三角形其中一條邊長係根號，公式入面會唔會好難計？

答：唔使擔心，DSE 題目通常會設計到邊長係整數或者簡單根號，即使有根號，你只需要保留根號形式，唔需要化簡到小數。例如上面例題 1，答案可以保留 (\sqrt{34}) 等。計算機可以幫你驗算近似值，但最終答案寫根號形式通常都接受。最重要係確保分子分母冇漏項，同埋記得將三邊長度加埋。

問：點樣區分內心、外心、形心同垂心？成日搞亂。

答：可以用定義同性質嚟記。內心係角平分線交點，內切圓圓心，到三邊距離相等。外心係垂直平分線交點，外接圓圓心，到三頂點距離相等。形心係中線交點，即三點座標平均。垂心係高線交點，即三條高嘅交點。喺座標題目，最易認嘅係形心，因為公式最簡單；外心通常要解方程；垂心要用斜率垂直。如果你見到題目有「內切圓」或者「角平分線」，就係內心；有「外接圓」或者「垂直平分線」，就係外心。

問：incentre formula 可唔可以用喺三維空間？

答：DSE 數學課程只涵蓋二維平面座標，所以 incentre formula 只適用於二維三角形。三維空間嘅內心概念比較複雜，亦唔喺 DSE 範圍內。如果你將來讀 M2 或者大學數學，先會接觸到。所以而家唔使擔心，專注二維就得。

問：有冇捷徑可以快速驗算內心座標啱唔啱？

答：有兩個簡單方法。第一，內心一定喺三角形內部，你可以畫個草圖，或者用「點喺三角形內」嘅判斷方法（例如面積法）。第二，計內心到三條邊嘅距離，如果三個距離一樣，就代表正確。呢個方法需要計點到直線距離，但係如果你已經有內心座標，計三條直線方程再代入，其實唔算太麻煩。另外，如果三角形係等腰或者等邊，內心會喺對稱軸上，可以用呢個性質快速檢查。

問：DSE 數學邊個課題會考內心？

答：內心通常喺「座標幾何」或者「直線方程」課題入面出現，有時會結合圓方程（內切圓）或者面積公式。喺歷屆試題中，內心出現嘅頻率唔算高，但一出現就係必答題，因為公式直接。建議你溫習時將所有「心」嘅公式整理埋一齊，比較異同，咁就唔會混淆。你可以參考我哋嘅 學習指南 入面嘅「三角形四心」筆記，有詳細對比。