Geometric Sequence Formula 等比數列公式：DSE 數學必讀指南

概述

喺 DSE 數學科嘅數列與級數單元中，geometric sequence formula（等比數列公式）係其中一個最重要嘅工具。無論係計利息、人口增長，定係解數列題目，呢組公式都必不可少。對於香港學生嚟講，理解等比數列嘅通項公式（general term）同求和公式（sum formula）唔單止可以幫你應付考試，更可以培養邏輯思維。本文會由基礎概念講起，逐步拆解公式嘅由來、應用同常見陷阱，並提供實用例題，助你輕鬆掌握。

等比數列嘅基本概念

等比數列（Geometric Sequence）係指每一項同前一項嘅比值（稱為公比，common ratio，通常以 r 表示）恆定嘅數列。例如：2, 6, 18, 54... 每一項都係前項乘 3，所以公比 r = 3。

通項公式（General Term）

假設首項為 a（即第一項），公比為 r，咁第 n 項（記作 T(n) 或 a_n）可以用以下公式表示：

T(n) = a × r^(n-1)

呢條公式係等比數列嘅核心，因為只要知道首項同公比，就可以直接計出任何一項。例如喺上面嘅數列中，a = 2，r = 3，所以第 5 項就係 2 × 3^(5-1) = 2 × 81 = 162。

公比嘅求法

好多時題目唔會直接俾公比你，而係俾你兩個項。例如已知第 3 項係 18，第 6 項係 486，求公比。利用通項公式：

T(6) / T(3) = (a × r^5) / (a × r^2) = r^3 = 486 / 18 = 27，所以 r = 3。呢個方法喺 DSE 好常見，記得活用。

等比數列求和公式（Sum of Geometric Sequence）

當你需要加埋頭 n 項嘅時候，就要用到求和公式。設 S(n) 為首 n 項之和，公式有兩個版本：

S(n) = a(1 - r^n) / (1 - r) 當 r ≠ 1

S(n) = a(r^n - 1) / (r - 1) 當 r ≠ 1（呢個版本喺 r > 1 時比較方便）

兩個公式其實係等價嘅，只係分子分母嘅次序調轉。例如求 2 + 6 + 18 + 54 嘅和，a = 2，r = 3，n = 4，用第二個版本：S(4) = 2(3^4 - 1) / (3 - 1) = 2(81 - 1) / 2 = 80。

公式嘅由來（推導）

明白公式點嚟，記憶就更牢固。設 S = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)，然後將成條式乘以 r：rS = ar + ar^2 + ... + ar^n。將兩式相減（rS - S），中間項全部抵消，得到 (r - 1)S = a(r^n - 1)，所以 S = a(r^n - 1) / (r - 1)。呢個推導過程喺 DSE 有時會考，所以一定要識。

無限等比數列求和（Sum to Infinity）

當 |r| < 1 時，隨住 n 越來越大，r^n 會趨向 0，所以無限項之和 S(∞) 可以用以下公式：

S(∞) = a / (1 - r)

呢個公式喺處理循環小數或者物理題目（例如彈波嘅總距離）好有用。例如 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...，a = 1，r = 1/2，所以 S(∞) = 1 / (1 - 1/2) = 2。

注意：如果 |r| ≥ 1，無限項之和係唔存在（發散），因為項會越來越大或者唔收斂。

常見應用同例題

應用一：銀行複利息

假設你存入 $10,000，年利率 5%，每年複利一次，問 10 年後嘅本利和？呢個係等比數列嘅應用，首項 a = 10000，公比 r = 1.05，第 10 項就係 10000 × 1.05^10 ≈ 16288.95。

應用二：DSE 經典題型

例：喺等比數列中，第 2 項係 6，第 5 項係 162。求首項同公比。

解：設首項 a，公比 r。 T(2) = ar = 6，T(5) = ar^4 = 162。 將兩式相除：r^3 = 27，所以 r = 3。 代入 ar = 6，得 a = 2。

應用三：無限項和嘅實際例子

一個波由 10 米高跌下，每次反彈高度係之前嘅 60%。求直到靜止為止，波所經過嘅總距離。

第一次下跌 10 米，之後每次上升同下跌都係前一次嘅 0.6 倍。總距離 = 10 + 2(10×0.6) + 2(10×0.6^2) + ... = 10 + 2 × [10×0.6 / (1 - 0.6)] = 10 + 2 × 15 = 40 米。

常見陷阱同溫習貼士

陷阱一：搞錯 n 嘅起始值

通項公式 T(n) = a × r^(n-1)，好多同學會誤寫成 a × r^n。記住，第一項係 a × r^0 = a，所以次方係 n-1。

陷阱二：公比 r = 1 嘅情況

當 r = 1 時，求和公式分母為 0，所以唔可以直接用。此時數列全部項都係 a，和就係 n × a。

陷阱三：無限項和嘅條件

無限項和公式只適用於 |r| < 1，否則會計出負數或無限大，記得檢查條件。

溫習貼士

1. 熟記公式之餘，要識推導，因為 DSE 有時會考證明。
2. 多做 past paper 題目，特別係長題目，因為等比數列成日同對數、指數結合。
3. 如果遇到分數或小數嘅公比，不妨轉做分數計算，減少誤差。

總結

Geometric sequence formula 係 DSE 數學嘅基石，掌握通項、求和同無限項和，再配合大量練習，你就能夠應付各種題型。記住，公式唔係死背，而係要理解背後嘅邏輯。如果你需要更多數學溫習資源，可以參考我哋嘅選校指南或者中學專區，入面有唔少學習建議。另外，小學同幼稚園嘅家長都可以提早了解數學概念嘅銜接。加油！