DSE 數學必學：Factorization Formula 因式分解公式完整指南

概述

喺 DSE 數學科入面，factorization formula（因式分解公式） 係一個極之重要嘅基礎工具。無論你係做緊多項式運算、解二次方程、化簡分式，甚至係處理函數圖像，都會用到因式分解。簡單嚟講，因式分解就係將一個多項式寫成幾個因式相乘嘅形式，例如將 (x^2 - 5x + 6) 分解成 ((x-2)(x-3))。

好多同學覺得因式分解好難，其實主要原因係冇系統咁記住啲公式，同埋唔識判斷應該用邊一條公式。呢篇指南會由最基本嘅公式講起，逐步深入，配合具體例子同常見陷阱，幫你一次過搞掂 factorization formula。無論你係中三開始接觸，定係中五、中六準備 DSE，呢篇文章都啱你用。

四大核心 Factorization Formula 你要識

1. 平方差公式（Difference of Squares）

最經典嘅公式之一：

[ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) ]

適用情況：見到兩項都係完全平方，而且中間係減號。

例子：

• (9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x+4)(3x-4))
• (25 - 4y^2 = (5+2y)(5-2y))

注意：如果係加號 (a^2 + b^2)，喺實數範圍內係唔可以分解嘅，除非你學咗複數。DSE 程度唔需要理會。

2. 完全平方公式（Perfect Square Trinomial）

兩個形式：

[ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 ] [ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 ]

適用情況：三項式，而且第一項同第三項都係完全平方，中間項係兩倍乘積。

例子：

• (x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2)（因為 (6x = 2 \cdot x \cdot 3)）
• (4x^2 - 12x + 9 = (2x-3)^2)（因為 (12x = 2 \cdot 2x \cdot 3)）

常見錯誤：好多同學見到 (x^2 + 4x + 4) 就寫 ((x+2)^2)，啱。但見到 (x^2 + 5x + 4) 就唔可以用完全平方，因為中間項唔係 (2 \cdot x \cdot 2 = 4x)，而係 (5x)，所以要用十字相乘。

3. 立方和與立方差公式（Sum and Difference of Cubes）

呢個喺 DSE 課程入面有時會出現，特別係進階題目：

[ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) ] [ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) ]

例子：

• (8x^3 + 27 = (2x)^3 + 3^3 = (2x+3)(4x^2 - 6x + 9))
• (27y^3 - 64 = (3y)^3 - 4^3 = (3y-4)(9y^2 + 12y + 16))

點記：口訣「同號在前，異號在中」——立方和時括號內係減號，立方差時括號內係加號。

4. 十字相乘（Cross Multiplication）

呢個係處理二次三項式 (ax^2 + bx + c) 嘅萬能方法，尤其當 (a \neq 1) 時。

基本步驟：

1. 將 (a) 分解成兩個因數 (p, q)，將 (c) 分解成兩個因數 (r, s)。
2. 交叉相乘：(p \cdot s + q \cdot r = b)。
3. 如果啱，就寫成 ((px + r)(qx + s))。

例子：分解 (2x^2 + 7x + 3)。

• (2) 可以係 (1 \times 2)，(3) 可以係 (1 \times 3)。
• 交叉：(1 \times 3 + 2 \times 1 = 5)，唔啱。試 (1 \times 1 + 2 \times 3 = 7)，啱！
• 所以 ((x+3)(2x+1))。

貼士：如果 (c) 係負數，兩個因數要一正一負；如果 (b) 係負數，要諗埋負號組合。

進階技巧：分組分解法（Factor by Grouping）

當多項式有四個或以上嘅項，而且冇明顯公因式，就可以用分組分解。

步驟：

1. 將項分成兩組，每組有共同因式。
2. 分別抽出公因式。
3. 如果兩組剩下嘅括號內容一樣，就可以再抽一次。

例子：分解 (x^3 - 2x^2 + 3x - 6)。

• 分組：((x^3 - 2x^2) + (3x - 6))
• 抽公因式：(x^2(x - 2) + 3(x - 2))
• 再抽：((x - 2)(x^2 + 3))

另一例：(ab + ac + bd + cd)

• 分組：((ab + ac) + (bd + cd) = a(b+c) + d(b+c) = (b+c)(a+d))

注意：分組唔一定係頭兩個一組，有時要調整次序。例如 (ax - by + ay - bx)，可以重新排成 (ax + ay - by - bx = a(x+y) - b(x+y) = (x+y)(a-b))。

常見錯誤同陷阱（Exam Tips）

錯誤 1：忘記抽公因式

好多同學一見到多項式就嘗試用公式，但其實第一步應該係睇有冇共同因式。例如 (4x^2 - 16)，應該先抽 (4) 出嚟：(4(x^2 - 4) = 4(x+2)(x-2))。如果直接寫 ((2x+4)(2x-4)) 雖然都啱，但未算最徹底，DSE 要求完全分解。

錯誤 2：符號搞錯

平方差公式入面，如果係 (-a^2 + b^2)，要寫成 ((b+a)(b-a)) 或者 ((b-a)(b+a))，但唔可以寫成 ((a+b)(a-b)) 因為咁會變咗 (a^2 - b^2)。記住：負號喺前面時，可以將成個多項式乘 (-1) 再處理。

錯誤 3：十字相乘時忽略負號

例如 (x^2 - 5x + 6)，分解成 ((x-2)(x-3))，因為 (-2 \times -3 = 6)，(-2 + -3 = -5)。好多同學會寫成 ((x+2)(x+3))，咁就錯晒。

錯誤 4：唔識判斷幾時用邊條公式

快速判斷表：

多項式特徵	適用方法
兩項，中間減號，兩項都係平方	平方差
三項，首尾係平方，中間係兩倍乘積	完全平方
三項，一般情況	十字相乘
四項或以上	分組分解
兩項，係立方	立方和/差

記住呢個表，做題目時就唔會亂。

點樣溫習 Factorization Formula 最有效？

1. 背熟公式，但唔好死背

試吓自己推導一次。例如 ((a+b)^2) 展開就係 (a^2 + 2ab + b^2)，所以反過嚟就係因式分解。理解咗之後，就算唔記得，都可以自己展開再對比。

2. 大量練習，由淺入深

先做簡單嘅數字題，再做有變數嘅題目，最後做混合題。例如：

• 初階：(x^2 - 9)、(x^2 + 4x + 4)
• 中階：(2x^2 - 8)、(x^3 - 27)
• 高階：(x^4 - 16)（可以用兩次平方差）、(x^3 + 2x^2 - 3x - 6)（分組）

3. 整理錯題本

將做錯嘅題目抄低，寫低錯咗邊一步，例如「符號搞錯」「抽漏公因式」。考試前睇返錯題本，比做新題更有效。

4. 結合其他課題

因式分解唔係獨立嘅，佢同解方程、化簡分式、函數零點息息相關。例如解 (x^2 - 5x + 6 = 0)，就係先因式分解做 ((x-2)(x-3)=0)，然後 (x=2) 或 (x=3)。所以學好因式分解，等於幫你打通成條數學經脈。

實戰應用：DSE 題型示範

例題 1（基礎）：分解 (3x^2 - 12)。

解：先抽公因式 (3)：(3(x^2 - 4))，再用平方差：(3(x+2)(x-2))。

例題 2（進階）：分解 (x^4 - 81)。

解：(x^4 - 81 = (x^2)^2 - 9^2 = (x^2+9)(x^2-9))。注意 (x^2+9) 唔可以再分解（實數範圍），但 (x^2-9) 可以：((x+3)(x-3))。所以最終答案 ((x^2+9)(x+3)(x-3))。

例題 3（混合）：分解 (x^3 - 2x^2 - 9x + 18)。

解：分組：((x^3 - 2x^2) - (9x - 18) = x^2(x-2) - 9(x-2) = (x-2)(x^2-9) = (x-2)(x+3)(x-3))。

例題 4（應用）：化簡 (\frac{x^2 - 4}{x^2 - x - 2})。

解：分子 (x^2-4=(x+2)(x-2))，分母 (x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1))，約走 ((x-2))，得到 (\frac{x+2}{x+1})。記住要註明 (x \neq 2) 同 (x \neq -1)（分母唔可以係零）。

總結：掌握 Factorization Formula 嘅關鍵

因式分解公式唔係靠死記，而係靠理解同練習。你只需要記住幾個核心公式，然後透過大量題目去熟習判斷同應用。DSE 考試好多時會將因式分解隱藏喺其他題目入面，例如求函數零點、解不等式、化簡有理函數等。所以，花時間打好呢個基礎，絕對係值得嘅。

如果你覺得自己仲未熟，可以參考學校嘅教科書或者網上資源，再配合每日做 5 至 10 題因式分解，一個星期內就會有明顯進步。另外，中學數學溫習指南 入面都有相關練習建議，你可以睇吓。

最後提提你，DSE 數學卷嘅評分準則好嚴格，即使步驟啱但答案唔完全分解都會扣分。所以做完之後一定要檢查吓每個括號入面仲有冇公因式或者可再分解嘅部分。

祝你 DSE 數學攞好成績！

常見問題（FAQ）

1. Factorization formula 同 expand（展開）有咩關係？

展開同因式分解係相反運算。展開係將括號拆開，例如 ((x+2)(x-3) = x^2 - x - 6)；因式分解就係將多項式寫返做括號相乘。熟練展開有助你驗證因式分解答案啱唔啱，因為你可以將分解結果展開，睇吓係咪等於原本嘅多項式。

2. 如果一個二次三項式唔可以因式分解，點算？

喺實數範圍內，有啲二次多項式係冇辦法分解成兩個一次因式，例如 (x^2 + x + 1)。你可以用判別式 (\Delta = b^2 - 4ac) 嚟判斷：如果 (\Delta < 0)，就唔可以分解（實數內）。如果 (\Delta) 係完全平方數，通常可以用十字相乘；如果唔係，就可能要用二次公式求根，但嗰個唔屬於因式分解嘅範圍。

3. 立方和公式成日記錯，有冇口訣？

有。你可以記「同號在前，異號在後」：(a^3 + b^3) 分解出嚟第一個括號係 ((a+b))，第二個括號中間係減號 (a^2 - ab + b^2)；(a^3 - b^3) 第一個括號係 ((a-b))，第二個括號中間係加號 (a^2 + ab + b^2)。另外，你可以自己展開一次驗證，做多幾次就自然記住。

4. 十字相乘有冇更快嘅方法？

有啲同學會用「猜數法」，即係試吓唔同組合，但呢個方法容易漏。建議你先將 (a) 同 (c) 嘅因數列晒出嚟，然後有系統咁交叉試。另外，如果 (a=1)，咁就簡單好多：你只需要揾兩個數，令佢哋相乘等於 (c)，相加等於 (b)。例如 (x^2 + 5x + 6)，兩個數係 2 同 3，因為 (2 \times 3 = 6)，(2+3=5)。

5. 因式分解喺 DSE 佔分多唔多？

雖然冇一個獨立嘅大題淨係考因式分解，但佢係好多題目嘅基礎步驟。例如解二次方程、化簡分式、求函數零點、不等式等都會用到。可以話，如果因式分解唔熟，好多題目都會卡住。所以即使唔係直接考，你都一定要掌握。建議你喺平時做練習時，遇到任何多項式都試吓因式分解，練到一睇就知用邊條公式。

如果你需要更多練習題，可以參考 DSE 數學練習資源 或者問老師攞額外題目。記住，數學冇捷徑，但係有方法，掌握咗公式同技巧，再配合適量練習，一定可以進步。