Cosine Formula 餘弦公式全攻略：DSE 數學必讀指南

概述

喺香港 DSE 數學科入面，cosine formula（餘弦公式）係三角學嘅核心工具之一，無論係平面幾何、立體幾何，甚至係應用題，都會經常用到。對於準備 DSE 嘅同學嚟講，掌握 cosine formula 唔單止可以幫助你解決三角形邊角問題，更係通向高分嘅關鍵。

好多學生一開始會將 cosine formula 同 sine formula（正弦公式）混淆，或者唔清楚幾時先用得着。呢篇指南會由基礎概念講起，逐步拆解公式嘅形式、應用條件、常見陷阱，以及 DSE 嘅出題趨勢。無論你係中四開始學三角學，定係中六臨近考試想溫習，都會喺度搵到實用嘅溫習材料。

什麼是 Cosine Formula？

喺任何三角形 ABC 中，假設角 A 嘅對邊係 a，角 B 嘅對邊係 b，角 C 嘅對邊係 c，咁 cosine formula 就有三種等價寫法：

• a² = b² + c² - 2bc cos A
• b² = a² + c² - 2ac cos B
• c² = a² + b² - 2ab cos C

簡單嚟講，呢條公式連結咗三角形嘅三條邊同其中一個角。如果你知道兩條邊同佢哋之間嘅夾角（SAS），你就可以用 cosine formula 求出第三條邊；如果你知道三條邊（SSS），你就可以透過公式求出任何一個角。

餘弦公式其實係畢氏定理嘅推廣：當角 A 係 90° 時，cos 90° = 0，公式就變成 a² = b² + c²，即係返到畢氏定理。呢個觀察可以幫你記憶公式，亦係好多選擇題嘅切入點。

何時應該使用 Cosine Formula？

喺解三角形題目時，你需要判斷用 sine formula 定 cosine formula。一般準則如下：

• 已知兩邊及夾角（SAS）：求第三邊，用 cosine formula。
• 已知三邊（SSS）：求任何一個角，用 cosine formula，通常會先求最大角，再判斷三角形形狀。
• 已知兩角及一邊（AAS 或 ASA）：通常用 sine formula。
• 已知兩邊及非夾角（SSA）：呢個係「含糊情況」，要小心討論，未必一定用 cosine，但有時可配合。

DSE 題目好鍾意將 cosine formula 放入立體幾何，例如求兩平面之間嘅角，或者求空間中兩點嘅距離。呢類題目表面睇落複雜，但只要你識得將立體圖形拆成平面三角形，好多時都係直接套用 cosine formula。

另一常見應用係喺物理或向量題目，例如求兩力嘅合力。雖然 DSE 數學卷未必直接考物理，但數學延伸部分（M2）嘅向量會用到类似嘅概念。

公式變形：求角度的技巧

好多同學淨係背咗求邊嘅公式，但求角度嘅變形就唔熟。由 a² = b² + c² - 2bc cos A，你可以移項得到：

cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)

呢個形式非常重要，因為當你知道三條邊，就可以直接代入求 cos A。計完之後，再用計算機嘅 cos⁻¹ 功能求出角 A。

要特別注意：喺 DSE 考試入面，你必須清楚顯示步驟，唔好淨係寫答案。例如，當你代入數值之後，要寫出中間嘅分數或小數，最後先用計算機求角度。好多評分準則會將步驟分開畀分，所以寫得越清晰越有著數。

另外，當你求出 cos A 係負數時，代表角 A 係鈍角（大過 90°）。呢點好重要，因為三角形可以有鈍角，而 sine formula 好多時會忽略鈍角情況，但 cosine formula 就可以直接反映。

DSE 常見題型及溫習策略

睇返歷屆 DSE 同會考題目，cosine formula 通常會以以下形式出現：

• 基礎題：直接畀你一個三角形，已知兩邊夾角，求第三邊。呢類題目係送分題，但要小心單位同四捨五入。
• 應用題：例如測量題，話你有一座塔，從兩個點分別量度到塔頂嘅仰角，然後求塔高。呢類題目通常需要你建立三角形，再用 cosine formula。
• 立體幾何：例如長方體入面求兩條對角線嘅夾角，或者求兩個平面嘅二面角。你需要畫出輔助線，將立體問題平面化。
• 證明題：叫你證明某啲關係，例如三角形三邊滿足某條等式，證明佢係直角三角形。呢類題目需要用 cosine formula 推出直角條件。

溫習策略方面，建議你：

1. 熟練公式嘅三種寫法，同埋佢哋嘅變形。
2. 做大量 past paper 題目，特別係近五年嘅 DSE 卷，因為出題模式好穩定。
3. 整理一個「錯題本」，將自己成日計錯嘅步驟記低，例如忘咗將角度轉做弧度、或者用錯對邊。
4. 同同學組成溫習小組，互相解釋公式點用，因為教人係最好嘅學習方法。

常見錯誤及避免方法

以下係學生最常犯嘅錯誤，你一定要避開：

• 搞錯對邊：記住，a 係角 A 嘅對邊，唔係隨便一條邊。如果你用錯字母，成個計算會錯。
• 忘記 cos 函數嘅角度單位：DSE 通常用度數，但有時題目會用弧度，你要睇清楚。
• 計算機設定：確保你嘅計算機係「DEG」模式（度），否則 cos 嘅數值會錯。好多學生就係因為咁而無辜失分。
• 忽略鈍角情況：當你用 cosine formula 求出 cos 值係負數，代表角係鈍角，你唔應該將佢當成銳角。
• 唔寫步驟：就算你用計數機計到答案，都要寫低代入過程，否則可能被扣步驟分。

另一個常見陷阱係：喺應用題入面，三角形可能唔係平面，而係立體空間嘅三角形。例如，求兩條斜線之間嘅角，你需要考慮三維坐標，但 cosine formula 依然成立，因為佢只係喺平面三角形入面用。

總結與進階溫習建議

總括嚟講，cosine formula 係 DSE 數學嘅必考工具，佢嘅重要性僅次於 sine formula，而且兩者經常一齊使用。建議你將呢兩個公式放埋一齊溫，清楚佢哋嘅適用條件。

對於想拎更高分數嘅同學，可以嘗試將 cosine formula 同其他課題結合，例如二次方程、不等式，或者坐標幾何。有時題目會要求你先用 cosine formula 求出邊長，再代入其他公式。

如果你覺得自己需要更系統嘅溫習，可以參考我哋嘅選校指南了解適合你嘅數學補習課程，或者睇吓中學頁面入面嘅學習資源。對於初中學生，我哋都有小學同幼稚園嘅數學啟蒙建議，幫你打好基礎。

最後，記住數學係靠練習，唔係靠背誦。每日抽少少時間做一兩條 cosine formula 題目，持之以恆，你自然會熟能生巧。祝各位 DSE 考生順利！

常見問題 (FAQ)

1. Cosine formula 同 sine formula 有咩分別？幾時用邊個？

Cosine formula 主要用於已知兩邊夾角（SAS）求第三邊，或者已知三邊（SSS）求角度。Sine formula 通常用於已知兩角一邊（AAS/ASA）或者兩邊一角（SSA）但情況要討論。簡單嚟講，如果你知道兩條邊同夾角，或者三條邊，就用 cosine。

2. 如果我用 cosine formula 計到 cos 值大過 1 或者細過 -1，代表咩？

呢個情況代表你嘅輸入數據有問題，例如三角形嘅邊長唔符合三角形不等式（兩邊之和大過第三邊），或者你計錯數。喺真實考試入面，數據通常會設計到啱，但你都要檢查自己係咪代錯數。

3. Cosine formula 喺 DSE 數學邊個課題會考？

Cosine formula 主要喺「度量、圖形與空間」入面嘅三角學部分出現，而且經常同 sine formula、三角形面積公式一齊考。喺 M2 入面，向量嘅點積（dot product）其實都係 cosine formula 嘅推廣，所以熟練呢條公式對延伸部分都有幫助。

4. 有冇記憶公式嘅口訣？

有啲學生會用「c² = a² + b² - 2ab cos C」嘅口訣，即係「c 方等於 a 方加 b 方減兩倍 ab cos C」。另外，你亦可以記住公式係畢氏定理嘅推廣，當夾角係 90° 時，cos 係 0，就變返 a² + b²。咁樣理解會更深刻。

5. 考 DSE 時用計數機計 cos 值，有咩要注意？

一定要檢查計數機係咪用「DEG」模式（度數），如果唔係會計錯。另外，當你求 cos⁻¹ 嘅時候，要注意答案可能係鈍角，特別係當 cos 值係負數時，你要用 180° 減返個銳角，或者直接按 shift-cos 輸入負數，睇吓計數機畀咩答案。