DSE數學必讀：cos sin tan 基礎與應用全攻略

概述

喺DSE數學科入面，三角學（Trigonometry）係一個必考嘅課題，而當中最核心嘅三個函數——cos（餘弦）、sin（正弦）同tan（正切）——幾乎每年都會出現喺卷一同卷二。無論你係中四學生初次接觸，定係中六準備應考，掌握好cos sin tan嘅概念同應用都係攞分嘅關鍵。

呢篇文章會由最基本嘅定義講起，逐步涵蓋公式、圖像、解三角形技巧，以及DSE常見題型，最後仲會提供實用嘅溫習建議。無論你係想打好基礎，定係想臨考前快速重溫，呢篇指南都幫到你。

cos sin tan 嘅基本定義

首先，我哋要由直角三角形出發。喺一個直角三角形入面，對於一個銳角 θ（theta），我哋定義：

sin θ = 對邊（opposite）／斜邊（hypotenuse）
cos θ = 鄰邊（adjacent）／斜邊（hypotenuse）
tan θ = 對邊／鄰邊

一個常見嘅口訣就係 「對斜鄰斜對鄰」，即係 sin = 對邊/斜邊，cos = 鄰邊/斜邊，tan = 對邊/鄰邊。

特別角度嘅數值

DSE經常會考以下幾個特別角嘅三角函數值，同學一定要背熟：

角度 θ	sin θ	cos θ	tan θ
0°	0	1	0
30°	1/2	√3/2	1/√3
45°	√2/2	√2/2	1
60°	√3/2	1/2	√3
90°	1	0	未定義

呢啲數值喺解三角形同化簡表達式時成日會用到，所以一定要記熟。

重要公式與恆等式

除咗基本定義，以下公式喺DSE考試中經常出現，同學必須熟練運用：

畢氏定理

喺直角三角形中，a² + b² = c²（其中 c 係斜邊）。呢條定理經常用嚟求第三條邊，然後再計sin、cos或tan。

三角恆等式

sin² θ + cos² θ = 1
tan θ = sin θ / cos θ

呢兩條恆等式喺化簡同證明題目中好有用。例如，當你見到 sin² θ，可以即時轉做 1 - cos² θ。

正弦定理（Sine Rule）

對於任意三角形，

a / sin A = b / sin B = c / sin C

其中 a、b、c 分別係角 A、B、C 嘅對邊。正弦定理適用於已知兩角一邊（AAS或ASA）或者兩邊一對角（SSA）嘅情況。

餘弦定理（Cosine Rule）

對於任意三角形，

c² = a² + b² - 2ab cos C

餘弦定理適用於已知兩邊夾一角（SAS）或者三邊（SSS）嘅情況。

cos sin tan 圖像與特性

喺DSE卷二（MC題）入面，好興考函數圖像嘅變換。你需要知道：

y = sin x 同 y = cos x 嘅圖像都係波浪形，週期係 360°（或 2π 弧度）。
y = tan x 嘅圖像有漸近線，每隔 180° 出現一次，而且佢喺每個週期內由負無限大升到正無限大。

圖像變換

常見變換包括：

y = a sin bx：a 影響振幅（最大高度），b 影響週期（週期 = 360°/b）。
y = sin (x + c)：將圖像向左（c>0）或向右（c<0）平移。
y = sin x + d：將圖像向上（d>0）或向下（d<0）平移。

理解呢啲變換，可以幫你快速判斷圖像對應嘅方程，喺MC題入面慳返好多時間。

DSE常見題型與解題步驟

以下係歷屆DSE經常出現嘅題型，同學可以參考解題步驟：

題型一：直角三角形求邊或角

例子：喺直角三角形中，斜邊長 10 cm，其中一個銳角係 30°，求對邊長度。

解法：

標明已知同未知。
選擇合適函數：因為已知斜邊同要求對邊，用 sin。
代入：sin 30° = 對邊 / 10，所以對邊 = 10 × sin 30° = 5 cm。

題型二：非直角三角形求邊或角

例子：三角形 ABC 中，AB = 8 cm，AC = 6 cm，角 A = 60°，求 BC。

解法：

已知兩邊夾一角，用餘弦定理。
BC² = 8² + 6² - 2×8×6×cos 60° = 64 + 36 - 48 = 52。
BC = √52 ≈ 7.21 cm。

題型三：三角恆等式化簡

例子：化簡 (1 - sin² θ) / cos θ。

解法：

用恆等式 sin² θ + cos² θ = 1，所以 1 - sin² θ = cos² θ。
原式 = cos² θ / cos θ = cos θ。

呢類題目通常喺卷一出現，只要熟練恆等式，其實好容易攞分。

溫習貼士與常見陷阱

溫習建議

背熟特別角數值：每日默寫一次，直到成為本能反應。
多做歷屆試題：特別係2012年之後嘅DSE題目，了解出題趨勢。
整理錯題本：將做錯嘅題目分類，例如「搞錯對邊鄰邊」、「用錯公式」等，考前重溫。

常見陷阱

混淆對邊同鄰邊：記住對邊係指該角對住嗰條邊，鄰邊係構成該角嘅其中一條邊（唔係斜邊）。
角度單位：DSE有時會用弧度，記得留意題目要求，否則計錯數。
tan 90° 未定義：喺計算時要避免除以零。
正弦定理嘅「兩邊一對角」情況：可能會有兩個解（ambiguous case），要根據實際情況判斷。

總結

cos sin tan 係DSE數學嘅基石，無論係幾何題、函數題定係應用題，都會用到。只要掌握定義、公式、圖像特性，再配合適量練習，呢部分絕對可以成為你嘅搶分位。

如果你覺得自己喺三角學方面需要更多練習，可以參考學校老師提供嘅工作紙，或者瀏覽教育局考評局嘅歷屆試題。另外，我哋網站都有唔少數學溫習資源，例如中學數學科文章，你可以按需要瀏覽。

最後，記住數學係需要不斷練習嘅科目，每日抽少少時間做幾條三角學題目，持之以恆，你嘅成績一定會進步。加油！

常見問題（FAQ）

1. cos、sin、tan 分別代表咩？

喺直角三角形中，sin 係對邊除以斜邊，cos 係鄰邊除以斜邊，tan 係對邊除以鄰邊。佢哋用嚟描述角度同邊長之間嘅關係。

2. 點樣記住特別角嘅 sin、cos、tan 數值？

可以運用「手指法」或者口訣。例如，0°、30°、45°、60°、90° 嘅 sin 值係 √0/2、√1/2、√2/2、√3/2、√4/2，即係 0、1/2、√2/2、√3/2、1；cos 值就倒轉。tan 值就係 sin 除以 cos。

3. 正弦定理同餘弦定理幾時用？

正弦定理適用於已知兩角一邊（AAS）或兩邊一對角（SSA）；餘弦定理適用於已知兩邊夾一角（SAS）或三邊（SSS）。記住口訣：「兩角一邊用正弦，兩邊夾角用餘弦」。

4. 點樣判斷 tan 函數嘅漸近線？

tan x = sin x / cos x，當 cos x = 0 時，即 x = 90° + 180°k（k 為整數），函數無定義，圖像會喺呢啲位置出現垂直漸近線。

5. DSE數學卷二嘅三角學MC題有咩技巧？

熟練圖像變換同特別角數值，可以快速排除選項。另外，如果題目涉及三角形，可以考慮畫圖輔助，或者用計算機驗算（如果容許）。平時練習時要限時，提升速度。