Cos Formula DSE 完全攻略：公式、應用與常見陷阱

概述

喺香港中學文憑試（DSE）數學科必修部分，三角學係一個佔分比重高嘅課題，而 cos formula（餘弦公式）更加係每年必考嘅重點之一。無論係解三角形、求邊長定係計角度，cos formula 都係不可或缺嘅工具。好多同學喺考試時因為唔記得公式、搞錯對應邊角，或者唔識揀用 sine formula 定 cos formula，白白失去分數。呢篇指南會由零開始，幫你徹底掌握 cos formula DSE 嘅所有要點，包括公式推導、應用時機、常見陷阱同實戰技巧，等你喺考場上可以穩陣應對。

咩係 Cos Formula？

Cos formula，中文叫餘弦公式，係用嚟解決任意三角形（唔限直角三角形）邊長同角度關係嘅公式。對於任意三角形 ABC，如果角 A 嘅對邊係 a，角 B 嘅對邊係 b，角 C 嘅對邊係 c，咁 cos formula 有以下三種等價寫法：

• ( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A )
• ( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B )
• ( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C )

呢條公式嘅好處係，只要你知兩條邊同夾角，就可以計到第三條邊；或者知三條邊，就可以計到任何一個角。喺 DSE 數學卷中，cos formula 通常會同 sine formula、三角形面積公式一齊出現，形成綜合題目。

公式點嚟？

其實 cos formula 可以由畢氏定理推導出嚟。想像一個三角形 ABC，由頂點 C 向邊 AB 畫一條高，將三角形分成兩個直角三角形，再用畢氏定理分別處理，最後合併就可以得到 cos formula。呢個推導過程喺教科書有詳細講解，同學不妨自己試吓推一次，有助加深記憶。

幾時用 Cos Formula？

喺 DSE 數學考試入面，判斷幾時用 cos formula 好重要。一般嚟講，當題目提供以下條件時，你就應該諗起 cos formula：

1. 已知兩邊同夾角（SAS）：例如知道邊 b、邊 c 同角 A，想求邊 a。
2. 已知三邊（SSS）：想求任何一個角，例如知道 a、b、c，想求角 A，可以用變形公式： [ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} ]

相反，如果題目俾你兩角一邊（ASA 或 AAS），通常用 sine formula 會更方便。記住呢個原則，可以幫你快速揀啱公式。

Cos Formula 嘅變形同應用

除咗基本公式，cos formula 有幾個常見變形同應用，DSE 題目成日都會考：

求角度

當你知道三角形三條邊嘅長度，想求某個角，可以用變形公式。例如：

喺三角形 ABC 中，( a = 7 ), ( b = 5 ), ( c = 3 )，求角 A。

解： [ \cos A = \frac{5^2 + 3^2 - 7^2}{2 \times 5 \times 3} = \frac{25 + 9 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -0.5 ] 所以 ( A = 120^\circ )。

呢類題目好常見，要小心計算負數同分數，同埋記得用計算機嘅 cos⁻¹ 功能。

判斷三角形形狀

cos formula 可以用嚟判斷三角形係銳角、直角定鈍角。例如，如果 ( a^2 > b^2 + c^2 )，咁角 A 就係鈍角（因為 cos A < 0）；如果相等就係直角；如果細過就係銳角。呢個技巧喺選擇題好有用。

立體幾何應用

DSE 數學卷二（MC）同卷一同樣會將 cos formula 融入立體圖形，例如求長方體對角線同平面嘅夾角，或者錐體嘅邊長。呢啲題目通常要你先喺平面三角形度應用 cos formula，再結合其他知識。

常見錯誤同陷阱

好多同學喺運用 cos formula 時會犯以下錯誤，你一定要注意避免：

• 搞錯對應邊角：公式入面嘅邊同角必須對應，例如 ( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A )，角 A 一定要係邊 a 嘅對角，唔可以亂咁代入。
• 忘記括號同負號：計算 ( -2bc \cos A ) 時，如果 cos A 係負數，成個項會變正數，好容易計錯。
• 單位不一致：邊長單位要一致，角度要用度數（DSE 通常用度），唔好同弧度混淆。
• 計算機模式：用計算機計 cos⁻¹ 之前，要確保計算機設定喺 DEG 模式，否則會得到錯誤答案。
• 忽略三角形存在條件：三邊必須符合三角形不等式（兩邊之和大於第三邊），否則 cos formula 會計出無意義嘅結果。

實戰例題示範

等我哋一齊做兩題典型 DSE 風格題目，鞏固所學。

例題 1（求邊長）

三角形 PQR 中，( PQ = 8 ), ( PR = 5 ), ( \angle QPR = 60^\circ )，求 QR 嘅長度。

解： 呢度已知兩邊 PQ、PR 同夾角 QPR，所以用 cos formula 求對邊 QR。設 ( QR = p )，( PQ = r = 8 ), ( PR = q = 5 )，角 P = 60°。

[ p^2 = q^2 + r^2 - 2qr \cos P = 5^2 + 8^2 - 2 \times 5 \times 8 \times \cos 60^\circ ] [ = 25 + 64 - 80 \times 0.5 = 89 - 40 = 49 ] 所以 ( p = 7 )。QR 長度係 7。

例題 2（求角度）

三角形 XYZ 中，( XY = 6 ), ( YZ = 10 ), ( ZX = 9 )，求角 Y。

解： 角 Y 嘅對邊係 XZ，所以用公式： [ \cos Y = \frac{XY^2 + YZ^2 - XZ^2}{2 \times XY \times YZ} = \frac{6^2 + 10^2 - 9^2}{2 \times 6 \times 10} = \frac{36 + 100 - 81}{120} = \frac{55}{120} \approx 0.4583 ] 所以 ( Y \approx 62.7^\circ )（用計算機計 cos⁻¹）。

應試策略同溫習貼士

• 熟記公式：唔好臨場先推導，要背到滾瓜爛熟。你可以用口訣：「兩邊夾角求對邊，平方相加減二倍積」。
• 分辨 sine 同 cos：如果已知兩角一邊，用 sine；已知兩邊夾角或三邊，用 cos。可以參考 學習指南 入面嘅三角學總結。
• 多做 past paper：DSE 數學 past paper 嘅三角學題目好有參考價值，特別係 2012 年之後嘅題型。你可以去 中學 資源區搵相關練習。
• 留意跨課題：cos formula 成日同圓方程、向量、立體幾何結合，溫習時要融會貫通。
• 檢查答案：計完之後，可以用 sine formula 或三角形內角和 180° 驗證，確保冇計錯。

總結

Cos formula 係 DSE 數學嘅核心內容，掌握佢可以幫你喺三角學題目穩袋分數。記住公式、識得判斷應用時機、避開常見陷阱，再配合適量練習，你一定可以應付自如。如果仲想鞏固其他數學課題，可以參考我哋嘅 小學 同 幼稚園 資源，由基礎打好數學根底。加油！