Cos Formula 餘弦公式：DSE Maths 考生必讀指南

Q: Cos formula 和 sine formula 有何分別？

餘弦公式用於已知兩邊夾角或三邊的情況，而正弦公式用於已知兩角一邊或兩邊一對角的情況。餘弦公式涉及平方和減法，正弦公式則涉及比例。選擇時先判斷題目給出的條件。

Q: 餘弦公式是否只適用於直角三角形？

不是，餘弦公式適用於任意三角形，包括銳角、鈍角三角形。直角三角形只是特例（夾角為 90° 時公式簡化為畢氏定理）。

Q: 如何記憶 cos formula？

可以口訣「兩邊平方和，減去兩倍積乘夾角餘弦」。或者記住公式形式類似畢氏定理，只是多了一項 -2bc cos A。多做練習自然熟記。

Q: 在 DSE 中，cos formula 通常佔多少分？

沒有固定分數，但每年都會出現，可能以選擇題（1-2 分）或長題目（3-5 分）形式考核。有時會與立體幾何結合，分數可達 6-8 分。因此絕對不能忽視。

Q: 若計算機沒有 cos 按鍵，怎麼辦？

DSE 准許使用具科學計算功能的計算機，一定有 cos 鍵。若你的計算機沒有，請立即更換符合考評局規格的型號。考試前記得檢查電池和模式。

概述

在 DSE 數學科中，cos formula（餘弦公式）是三角學的基石，幾乎每年考試都會出現。無論是解三角形、求邊長或角度，還是處理立體幾何問題，餘弦公式都是不可或缺的工具。很多學生只記得 sine formula（正弦公式），卻忽略了 cos formula 的重要性，導致在應用題中失分。本文將為你詳細拆解 cos formula 的定義、變形、應用技巧，以及常見的考試陷阱，助你穩奪分數。

Cos Formula 的基本定義

餘弦公式（Cosine Rule）適用於任意三角形，當你已知兩邊及其夾角，或三條邊時，可以用來求未知的邊或角。公式如下：

對於三角形 ABC，其中 a、b、c 分別為角 A、B、C 的對邊：

(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A)
(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B)
(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C)

若要求角度，可將公式重排：

(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc})

這個公式其實是畢氏定理的推廣。當夾角為 90° 時，(\cos 90° = 0)，公式便簡化為 (a^2 = b^2 + c^2)，即畢氏定理。因此，餘弦公式能處理更一般的三角形。

何時使用 Cos Formula？

在 DSE 題目中，你需要判斷何時用餘弦公式，何時用正弦公式。一般來說，以下情況應使用 cos formula：

已知兩邊及夾角（SAS）：例如已知邊 b、c 和角 A，求對邊 a。
已知三邊（SSS）：求任一內角。

相反，若已知兩角及一邊（AAS 或 ASA），則用正弦公式較方便。若已知兩邊及非夾角（SSA），則需小心，可能出現「無解、一解或兩解」的情況，此時通常先用正弦公式，但有時也要配合餘弦公式驗證。

實際應用與例題

例題一：求邊長

三角形 XYZ 中，XY = 8 cm，XZ = 6 cm，夾角 X = 60°，求 YZ 的長度。

解：設 YZ = x，根據餘弦公式： (x^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \times 8 \times 6 \times \cos 60°) (x^2 = 64 + 36 - 96 \times 0.5 = 100 - 48 = 52) (x = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7.21) cm

例題二：求角度

三角形 ABC 中，a = 7 cm，b = 9 cm，c = 12 cm，求角 A。

解： (\cos A = \frac{9^2 + 12^2 - 7^2}{2 \times 9 \times 12} = \frac{81 + 144 - 49}{216} = \frac{176}{216} = \frac{22}{27})

(A = \cos^{-1}(\frac{22}{27}) \approx 35.4°)

進階應用：立體幾何

在 DSE 的立體幾何題目中，經常需要先在三維圖形中找出三角形，然後用餘弦公式求距離或角度。例如，求長方體對角線與某平面的夾角，往往需要先構造直角三角形，但有時也要用餘弦公式處理斜三角形。

常見陷阱與考試技巧

陷阱一：單位與角度模式

使用計算機時，務必確認角度模式是 DEG（度）而非 RAD（弧度）。很多學生因未切換模式而導致答案錯誤。

陷阱二：計算錯誤

公式涉及平方和減法，容易出錯。建議分步計算，先算平方，再算乘積，最後加減。例如，先計算 (b^2)、(c^2) 和 (2bc\cos A)，再合併。

陷阱三：忽略三角形存在條件

當已知三邊求角時，若計算出的餘弦值大於 1 或小於 -1，則該三角形不存在。例如，邊長 2、3、6 無法構成三角形，因為 2+3 < 6。

技巧一：善用公式變形

若題目要求角，直接用變形公式，避免代入原公式再解方程，減少步驟。

技巧二：配合正弦公式

有時題目同時需要兩種公式。例如，先用餘弦公式求邊，再用正弦公式求角。熟練轉換是取分的關鍵。

技巧三：檢查答案合理性

三角形內角和為 180°，最大角對應最長邊。若求出的角度與邊長矛盾，應立即檢查。

與其他數學課題的連結

cos formula 並非獨立課題，它與向量、坐標幾何、圓方程等有密切關係。例如，在坐標平面中，兩點間的距離公式其實就是餘弦公式的特例。此外，在向量中，點積的定義也與餘弦有關。掌握好餘弦公式，能幫助你融會貫通多個課題。

若你正在準備 DSE，建議同時複習中學數學課程中的三角學基礎，以及小學的幾何概念，建立穩固的知識鏈。對於家長，若想了解如何協助子女規劃學習，可參考選校指南及幼稚園的銜接建議，但數學能力的培養應從小開始。

總結

餘弦公式是 DSE 數學的必考內容，只要掌握何時使用、正確計算，並避開常見陷阱，就能穩取分數。建議多做歷屆試題，特別是有關三角形和立體幾何的題目。記住，公式不難，難在應用和細心。希望這篇指南能幫助你在考試中更上一層樓。

常見問題 FAQ

1. Cos formula 和 sine formula 有何分別？