Completing the Square Formula 完全平方公式：DSE 數學必學技巧與應用

概述

在香港中學文憑試（DSE）數學科中，completing the square formula（完全平方公式／配方法）是處理二次方程與二次函數的核心技巧。無論是求解方程、繪畫拋物線，還是尋找最大值或最小值，配方法都扮演關鍵角色。本文會以粵語思維、清晰步驟，為你拆解這個公式的由來、實際操作，以及如何在考試中靈活運用。

很多學生初學時只記得公式，卻不明白背後原理，導致遇到變奏題目時束手無策。其實，completing the square formula 就是將一個二次多項式改寫成「完全平方」加「常數」的形式，例如 (x^2 + 6x + 5) 變成 ((x+3)^2 - 4)。這樣做的好處是：圖像的頂點一目了然，方程的解亦可以直接求得。

本文適合就讀中四至中六的學生，亦歡迎家長參考，以便輔助子女溫習。若你對基礎代數尚未熟悉，建議先重溫中學數學基礎再回來閱讀。

公式的由來與基本形式

Completing the square formula 的核心是基於恆等式 ((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2)。當我們面對 (x^2 + bx) 時，可以人為地加上 ((b/2)^2) 再減去它，使式子變成完全平方。

一般形式： [ x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 ]

若二次項係數不是 1，例如 (ax^2 + bx + c)，則先抽出 (a)，再對括號內進行配方法。

步驟示範（係數為 1）

例：將 (x^2 + 8x + 7) 配成完全平方。

1. 取 (x^2 + 8x)，計算 (\left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16)。
2. 加上再減去 16：(x^2 + 8x + 16 - 16 + 7)。
3. 整理：((x+4)^2 - 9)。

所以 (x^2 + 8x + 7 = (x+4)^2 - 9)。

步驟示範（係數非 1）

例：(2x^2 - 4x + 1)。

1. 抽出 2：(2(x^2 - 2x) + 1)。
2. 對 (x^2 - 2x) 配方法：(\left(\frac{-2}{2}\right)^2 = 1)。
3. 括號內加 1 減 1：(2[(x-1)^2 - 1] + 1)。
4. 展開：(2(x-1)^2 - 2 + 1 = 2(x-1)^2 - 1)。

應用一：解二次方程

利用 completing the square formula 可以推導出二次公式，亦可以直接解方程。例如解 (x^2 + 6x + 2 = 0)：

1. 移常數：(x^2 + 6x = -2)。
2. 加 ((6/2)^2 = 9)：(x^2 + 6x + 9 = 7)。
3. 左邊為完全平方：((x+3)^2 = 7)。
4. 開方：(x+3 = \pm \sqrt{7})，所以 (x = -3 \pm \sqrt{7})。

這種方法特別適合當方程不能因式分解時使用，而且過程比直接背公式更不容易出錯。

應用二：求二次函數的頂點與極值

DSE 常問二次函數的最大值或最小值。透過配方法，我們可以立即讀出頂點坐標。

例如 (y = x^2 - 4x + 5)，配成 ((x-2)^2 + 1)。由於平方項 ((x-2)^2 \ge 0)，所以 (y \ge 1)，最小值為 1，對應 (x=2)。頂點就是 ((2, 1))。

若 (a > 0)，拋物線開口向上，有最小值；若 (a < 0)，開口向下，有最大值。這個性質在圖像題、應用題（如最大面積、最大利潤）中非常實用。

應用三：圖像變換與作圖

配方法後的 (y = a(x-h)^2 + k) 形式，直接顯示拋物線的頂點 ((h, k))，以及對稱軸 (x = h)。相比起列表描點，這種方法能快速掌握圖像的形狀和位置。

例如 (y = -2(x+1)^2 + 3)，頂點為 ((-1, 3))，開口向下，對稱軸為 (x = -1)。在考試中，這類題目往往佔 2 至 3 分，掌握後可穩取分數。

常見錯誤與應試貼士

錯誤類型	例子	正確做法
忘記加減常數	(x^2 + 4x) 只加 4 而不減 4	必須同時加減，保持等式成立
係數未抽出	(2x^2 + 8x) 直接配方法	先抽出 2，再對 (x^2 + 4x) 配
符號混淆	((x-3)^2) 誤以為頂點是 ((3, -k))	頂點為 ((h, k))，注意符號

應試時，建議先檢查二次項係數是否為 1，再進行配方法。若時間緊迫，可用二次公式驗算結果。另外，多練習不同係數的題目，熟能生巧。

進階應用：與其他課題的連結

Completing the square formula 不僅用於二次函數，亦常見於圓形方程、積分（雖然 DSE 不考微積分，但部分校本評核或延伸課程會涉及），以及不等式求解。例如，將圓方程 (x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0) 配方法後，可得到圓心和半徑。

此外，在處理二次不等式時，配方法可以幫助判斷函數值的正負區間。例如 (x^2 - 2x - 3 > 0)，配成 ((x-1)^2 - 4 > 0)，即 ((x-1)^2 > 4)，從而解得 (x < -1) 或 (x > 3)。

若你希望鞏固基礎，可參考學習指南中的代數章節；若子女就讀小學，亦可先了解小學數學課程的相關預備知識。

總結

Completing the square formula 是 DSE 數學的必殺技，只要掌握步驟，便能應付多種題型。建議同學每日練習 3 至 5 題，由簡單係數開始，再挑戰分數或負數係數。記住，配方法不是死記，而是理解「加一項、減一項」的平衡技巧。

若你對其他數學技巧有疑問，歡迎瀏覽 SchoolDays 的中學數學資源或幼稚園數學啟蒙（適合幼童家長）。持之以恆，DSE 數學必定進步！