Completing Square Formula 完全平方公式：DSE 數學必學技巧與例題

概述

喺香港 DSE 數學科入面，completing square formula（配方法）係一個非常重要嘅代數技巧，幾乎每年都會出現喺卷二選擇題或者卷一長題目。無論你係中三準備升中四，定係中五中六衝刺 DSE，掌握配方法都可以幫你輕鬆解決二次方程、二次函數圖像、最大最小值等問題。

簡單嚟講，配方法就係將一個二次多項式 ax² + bx + c 轉換成 a(x + h)² + k 嘅形式。呢個形式可以令你一眼睇出拋物線嘅頂點座標、對稱軸，以及函數嘅最大或最小值。好多同學覺得配方法好難，其實只要跟住幾個步驟，再配合適量練習，就會發現佢比想像中簡單。

本文會由最基本嘅原理開始，逐步講解配方法嘅步驟，再透過多個例題示範，最後提供常見陷阱同實用建議，幫助你全面掌握呢個 DSE 數學必殺技。

配方法嘅基本原理

配方法嘅核心思想係利用恆等式 (x + p)² = x² + 2px + p²。我哋希望將一個二次多項式 x² + bx + c 變成 (x + h)² + k 嘅形式，其中 h 同 k 係常數。

具體步驟如下：

1. 確保二次項係數為 1：如果 x² 前面有係數 a，先將成個多項式除以 a（或者抽出 a），令到二次項變成 x²。
2. 將一次項係數一半嘅平方加減：對於 x² + bx，我哋加 (b/2)² 再減 (b/2)²，保持原式不變。
3. 重組為完全平方：將頭三項寫成 (x + b/2)²，然後將剩下嘅常數合併。

例如：x² + 6x + 5

• 一次項係數係 6，一半係 3，平方係 9。
• 所以 x² + 6x + 5 = (x² + 6x + 9) - 9 + 5 = (x + 3)² - 4。

呢個過程就係配方法嘅基本操作。對於一般形式 ax² + bx + c，我哋可以寫成：

a(x² + (b/a)x) + c = a[(x + b/(2a))² - (b/(2a))²] + c = a(x + b/(2a))² + c - b²/(4a)

呢條就係 completing square formula 嘅一般式，但考試通常唔需要死記，只要理解步驟就得。

配方法喺二次方程嘅應用

配方法最直接嘅用途就係解二次方程。當方程無法因式分解時，我哋可以用配方法將方程轉換成 (x + h)² = k 嘅形式，然後開方求解。

例題 1：解方程 x² - 4x - 1 = 0

步驟：

1. 將常數項移到右邊：x² - 4x = 1
2. 配方法：一次項係數 -4，一半係 -2，平方係 4。
3. 兩邊同時加 4：x² - 4x + 4 = 1 + 4
4. 左邊變成完全平方：(x - 2)² = 5
5. 開方：x - 2 = ±√5
6. 所以 x = 2 ± √5

呢個方法特別適合當判別式唔係完全平方數時使用，因為可以避免複雜嘅因式分解。

配方法求二次函數嘅頂點同最大最小值

喺 DSE 數學入面，二次函數 y = ax² + bx + c 嘅圖像係一條拋物線。透過配方法，我哋可以將函數寫成 y = a(x - h)² + k 嘅形式，其中 (h, k) 就係頂點座標。

• 如果 a > 0，拋物線開口向上，頂點係最低點，函數有最小值 k。
• 如果 a < 0，拋物線開口向下，頂點係最高點，函數有最大值 k。

例題 2：求函數 y = 2x² - 8x + 7 嘅頂點及最小值

步驟：

1. 抽出二次項係數 2：y = 2(x² - 4x) + 7
2. 配方法：x² - 4x 一次項係數 -4，一半 -2，平方 4。
3. 加 4 再減 4：y = 2[(x² - 4x + 4) - 4] + 7
4. 化簡：y = 2[(x - 2)² - 4] + 7 = 2(x - 2)² - 8 + 7 = 2(x - 2)² - 1

所以頂點係 (2, -1)，因為 a = 2 > 0，函數有最小值 -1。

呢類題目經常出現喺 DSE 卷二，同學要熟練掌握。

常見題型同陷阱

配方法喺 DSE 常見題型包括：

• 解二次方程：直接應用配方法求解。
• 求函數圖像嘅頂點、對稱軸：對稱軸係 x = h。
• 求最大最小值：根據 a 嘅正負判斷。
• 判斷圖像與 x 軸交點數目：透過 k 嘅值同 a 嘅符號判斷。

常見陷阱：

1. 忘記抽出二次項係數：如果 a ≠ 1，必須先抽出 a，否則配方法會出錯。
2. 加減數錯誤：加咗 (b/2)² 之後，一定要記得減返，否則會改變原式。
3. 符號混淆：例如 (x - 3)² 展開係 x² - 6x + 9，唔好搞錯正負號。
4. 開方時忘記 ±：解方程開方時一定要加 ±，否則會漏解。

同學可以透過做多啲練習題嚟避免呢啲錯誤。

配方法 vs 其他解二次方程方法

除咗配方法，解二次方程仲有因式分解法同二次公式（quadratic formula）。三種方法各有優劣：

方法	優點	缺點	適用情況
因式分解	快速、直接	只適用於可分解嘅方程	係數簡單，有整數根
配方法	可解所有方程，同時提供頂點資訊	步驟較多	需要求頂點或最大最小值時
二次公式	萬能，直接代入	計算較繁複	任何二次方程

喺 DSE 考試中，同學應該根據題目要求選擇最合適嘅方法。如果題目問「用配方法」，就一定要用配方法；如果冇指定，可以揀自己最熟練嘅方法。

實戰練習建議

要熟練掌握 completing square formula，同學可以參考以下練習建議：

1. 每日練習 3-5 題：由簡單嘅 x² + bx + c 開始，逐步增加難度至 ax² + bx + c。
2. 結合圖像理解：畫出二次函數圖像，觀察頂點位置同配方法結果嘅關係。
3. 多做 DSE 歷屆試題：了解常見出題模式。
4. 與同學互相出題：透過教學相長，加深理解。

如果想系統學習更多數學技巧，可以參考我哋嘅學習指南，或者瀏覽中學數學資源。對於基礎較弱嘅同學，可以先溫習小學嘅代數概念，再逐步進階。

總結

配方法係 DSE 數學一個不可或缺嘅技巧，無論係解方程、求頂點定最大最小值，都大派用場。只要掌握基本步驟，多做練習，就能夠熟能生巧。記住，配方法唔係死記公式，而係理解背後嘅代數恆等式。希望呢篇文章可以幫助你喺數學考試中取得佳績！

如果你仲想了解更多數學知識，歡迎瀏覽我哋網站其他文章，或者查閱幼稚園至中學嘅數學學習資源。