Transformation of Graph 圖像變換攻略：DSE 數學必學技巧與常見陷阱

概述

喺 DSE 數學科入面，transformation of graph（圖像變換）係一個經常出現嘅課題，無論喺必修部分或者延伸部分（M1/M2）都會考到。簡單嚟講，圖像變換就係將一個已知嘅函數圖像，透過平移、反射、縮放或者絕對值等操作，變成另一個圖像。好多同學覺得呢個課題困難，主要係因為記唔清楚唔同變換對應嘅函數表達式改變，同埋容易混淆「對 x 嘅操作」同「對 y 嘅操作」。

呢篇文章會用香港學生熟悉嘅角度，由基礎概念講到進階技巧，再配合實例同常見錯誤分析，幫你一次過掌握 transformation of graph。無論你係中四開始接觸函數，定係中六準備 DSE 衝刺，呢篇指南都會對你有幫助。我哋仲會提供一啲實用嘅溫習建議，等你唔使死記硬背，而係真正理解背後嘅原理。

基本變換：平移（Translation）

平移係最簡單嘅圖像變換，意思係將整個圖像沿住 x 軸或者 y 軸方向移動，但形狀同大小完全唔變。

垂直平移（Vertical Translation）

如果將函數 y = f(x) 嘅圖像向上移動 k 個單位（k > 0），新函數就係 y = f(x) + k。相反，向下移動 k 個單位就係 y = f(x) - k。

例子： 已知 f(x) = x^2，向上平移 3 個單位後，新函數係 y = x^2 + 3。

水平平移（Horizontal Translation）

水平平移比較容易出錯。如果將圖像向右移動 h 個單位（h > 0），新函數係 y = f(x - h)；向左移動 h 個單位就係 y = f(x + h)。

口訣：「左加右減」——即係向左移就加，向右移就減。

例子： f(x) = x^2 向右平移 2 個單位，新函數係 y = (x - 2)^2。

常見錯誤

好多同學會將水平平移同垂直平移混淆，記住：水平平移係對 x 嘅操作，所以要將 x 換成 x - h 或 x + h；垂直平移係對成個函數操作，直接加減常數。

反射變換（Reflection）

反射係將圖像沿住 x 軸或 y 軸「鏡像」反轉。

沿 x 軸反射

將 y = f(x) 沿 x 軸反射，即係將所有 y 值變為相反數，新函數係 y = -f(x)。圖像會上下倒轉。

例子： f(x) = sin(x) 沿 x 軸反射後係 y = -sin(x)。

沿 y 軸反射

將 y = f(x) 沿 y 軸反射，即係將所有 x 值變為相反數，新函數係 y = f(-x)。圖像會左右倒轉。

例子： f(x) = 2^x 沿 y 軸反射後係 y = 2^{-x}，即 y = (1/2)^x。

注意

如果函數本身係偶函數（例如 y = x^2），沿 y 軸反射後圖像完全一樣，所以唔會見到變化。

縮放變換（Scaling / Dilation）

縮放會改變圖像嘅大小，但保持形狀比例。分為垂直縮放同水平縮放。

垂直縮放（Vertical Scaling）

將 y = f(x) 嘅所有 y 值乘以一個常數 a（a > 0），新函數係 y = a f(x)。如果 a > 1，圖像會垂直拉長；如果 0 < a < 1，圖像會垂直壓扁。

例子： f(x) = x^2 乘以 2，變成 y = 2x^2，圖像會更「瘦高」。

水平縮放（Horizontal Scaling）

將 x 值乘以一個常數 b（b > 0），新函數係 y = f(bx)。注意：如果 b > 1，圖像會水平壓縮；如果 0 < b < 1，圖像會水平拉闊。

口訣：「乘大縮細」——即係 x 乘嘅數越大，圖像越窄。

例子： f(x) = sin(x) 變成 y = sin(2x)，週期會由 2π 縮短到 π。

負數縮放

如果 a 或 b 係負數，就會同時包含反射效果。例如 y = -2f(x) 係先垂直縮放 2 倍，再沿 x 軸反射。

絕對值變換（Absolute Value Transformation）

絕對值變換係 DSE 常見嘅進階題目，通常有兩種：

對函數整體取絕對值：y = |f(x)|

呢個變換會將原本喺 x 軸以下嘅部分「摺」上嚟，即係所有 y 值變成非負數。圖像會保留 x 軸以上嘅部分，而以下嘅部分會反射到上方。

例子： y = |x - 1| 係將 y = x - 1 嘅負數部分反射。

對 x 取絕對值：y = f(|x|)

呢個變換會將圖像嘅右半邊保留，左半邊變成右半邊嘅鏡像。即係對於 x < 0 嘅部分，會同 x > 0 嘅部分對稱。

例子： y = (|x|)^2 其實等於 y = x^2，因為平方本身已經對稱。

常見陷阱

好多同學混淆 y = |f(x)| 同 y = f(|x|)。記住：前者係將 y 值變正，後者係將 x 值變正。可以透過畫圖去區分。

綜合應用與解題技巧

喺 DSE 考試中，題目通常會將多種變換組合埋一齊，例如「將 y = f(x) 先向左平移 2 單位，再沿 x 軸反射，最後垂直縮放 3 倍」。呢類題目需要按步驟逐步處理。

解題步驟：

1. 先處理括號內嘅水平變換（平移、縮放、反射），記住「左加右減」同「乘大縮細」。
2. 再處理括號外嘅垂直變換（平移、縮放、反射）。
3. 最後檢查有冇絕對值變換。

例子： 將 y = x^2 向左平移 1 單位，再垂直縮放 2 倍，最後向上平移 3 單位。

步驟：

• 向左平移：y = (x + 1)^2
• 垂直縮放：y = 2(x + 1)^2
• 向上平移：y = 2(x + 1)^2 + 3

常見錯誤： 如果變換順序調轉，例如先垂直縮放再平移，結果會唔同。所以一定要按照題目描述嘅順序做。

常見錯誤與溫習建議

常見錯誤一覽

錯誤類型	正確做法
水平平移方向搞錯	記住「左加右減」
混淆 y = f(x) + k 同 y = f(x + k)	前者垂直移，後者水平移
忽略變換順序	先水平後垂直，按步驟做
絕對值變換混淆	分清 `

溫習建議

• 畫圖練習： 每次做變換都畫出原圖同新圖，加深視覺記憶。
• 利用圖像計算機： 可以用 Desmos 等工具驗證答案，但考試時要手畫。
• 整理筆記： 將所有變換規則寫成表格，方便考前快速重溫。
• 做歷屆試題： 特別留意 DSE 嘅題型，例如「描述變換」或者「寫出變換後嘅函數」。

如果你需要更多學習資源，可以參考我哋嘅選校指南或者中學專區，入面有唔少學習貼士。另外，小學同學都可以提早接觸圖像概念，打好基礎。

總結

Transformation of graph 係一個可以透過理解同練習完全掌握嘅課題。只要記住平移、反射、縮放同絕對值變換嘅基本規則，再配合適當嘅練習，你就能夠喺 DSE 數學中輕鬆應對呢類題目。記住，唔好死記，要理解每個變換對圖像嘅影響。祝大家考試順利！