Method of Completing the Square 完全平方教學：香港DSE數學必學技巧

概述

喺香港中學數學（尤其係DSE數學科）入面，method of completing the square（配方法）係一個極之重要嘅技巧。無論你係中三開始接觸二次方程，定係中四、中五準備DSE，配方法都係你必須熟練嘅工具。佢唔單止幫你解二次方程，更加係理解二次函數圖像（拋物線）嘅關鍵。好多同學覺得配方法好難，其實只要掌握當中的邏輯同步驟，就會發現佢同「執靚個正方形」一樣咁簡單。

呢篇指南會以香港學生熟悉嘅粵語，由淺入深講解配方法嘅原理、步驟、應用，以及常見嘅錯誤，仲會提供實用嘅練習建議。無論你係家長想幫仔女溫習，定係學生想自學，呢篇文章都會係你嘅好幫手。記得睇埋文末嘅FAQ，解答你常見嘅疑問。

咩係配方法？點解要學？

配方法（Completing the Square）係一種將二次多項式 ax² + bx + c 轉換成 a(x - h)² + k 形式嘅代數技巧。呢個「頂點式」可以一眼睇出拋物線嘅頂點座標 (h, k)，亦都可以直接用嚟解二次方程。

喺香港課程入面，配方法通常喺中四（DSE）階段正式教授，但其實佢嘅概念好早已經滲透喺中三嘅二次方程課題。學配方法有幾個實際好處：

• 解二次方程：當方程唔容易因式分解，或者你想用公式之外嘅方法時，配方法就大派用場。
• 求二次函數嘅頂點：頂點代表拋物線嘅最高點或最低點，喺好多應用題（例如最大利潤、最小成本）都要用到。
• 理解圖像變換：配方法可以清楚顯示函數點樣由基本嘅 y = x² 平移同縮放而成。
• 為微積分打基礎：雖然DSE未必深入，但配方法喺將來大學數學都好常見。

簡單嚟講，配方法係連接代數同幾何嘅橋樑，唔識佢就好似少咗一件重要工具。

配方法嘅核心步驟（以 x² + bx + c 為例）

當二次項係數係1（即 a = 1）嘅時候，配方法最簡單。假設我哋要將 x² + 6x + 5 變成頂點式。

步驟1：將常數項移到一旁

我哋先睇 x² + 6x 呢部分，常數項 +5 暫時唔理。

步驟2：加上「一半嘅平方」

睇 x 項嘅係數，即係 6。將佢除以2，得到 3，然後平方，得到 9。我哋而家喺 x² + 6x 後面加上 9，同時要減返 9 以保持等式平衡：

x² + 6x + 9 - 9 + 5

步驟3：將前三項寫成完全平方

x² + 6x + 9 其實就係 (x + 3)²，因為 (x + 3)² = x² + 6x + 9。

步驟4：化簡常數

而家個式變成 (x + 3)² - 9 + 5，即係 (x + 3)² - 4。

所以 x² + 6x + 5 = (x + 3)² - 4。頂點就係 (-3, -4)。

當 a ≠ 1 嘅時候點算？

好多時二次項前面有系數，例如 2x² + 8x + 3。步驟大同小異，但首先要抽出 a：

1. 將 a 抽出來，寫成 2(x² + 4x) + 3。
2. 對括號入面嘅 x² + 4x 進行配方法：一半嘅 4 係 2，平方係 4，所以加 4 再減 4。
3. 注意要將減出嚟嘅 4 乘返 a 先可以移出括號。

詳細步驟：

2(x² + 4x + 4 - 4) + 3

= 2[(x + 2)² - 4] + 3

= 2(x + 2)² - 8 + 3

= 2(x + 2)² - 5

所以頂點係 (-2, -5)。記住，當 a 唔係1，括號入面減出嚟嘅數要乘返 a 先可以移出嚟，呢個係好多同學容易錯嘅地方。

配方法嘅實際應用：解二次方程

配方法其中一個最直接嘅用途就係解二次方程。例如要解 x² - 4x - 5 = 0。

1. 先將常數項移去右邊：x² - 4x = 5。
2. 配方：x 項係數係 -4，一半係 -2，平方係 4。左右兩邊都加 4：x² - 4x + 4 = 5 + 4。
3. 左邊變成 (x - 2)²，右邊係 9。
4. 開方：x - 2 = ±3。
5. 所以 x = 2 + 3 = 5 或 x = 2 - 3 = -1。

呢個方法同二次公式其實同出一轍，但配方法可以幫助你理解公式嘅由來。喺DSE考試入面，如果題目指明「用配方法解方程」，你就一定要跟足步驟，唔可以直接跳去公式。

另外，配方法亦常用於求二次函數嘅最大或最小值。例如一個函數 f(x) = -x² + 6x - 1，配方法後得到 -(x - 3)² + 8，因為 -(x - 3)² 最大係0（當 x = 3），所以函數最大值係 8。呢類題目喺DSE數學卷一的應用題成日出現，例如「求最大利潤」或者「求最大面積」。

常見錯誤同實用貼士

好多同學喺配方法時會犯以下錯誤，你睇吓自己有冇中招：

• 忘記加減同一個數：記住，加咗一個數一定要減返，否則等式就唔成立。
• a 唔係1時，忘記處理括號外嘅系數：例如 2x² + 8x，如果淨係將 8 一半平方，就會錯。一定要先抽出 2。
• 符號混淆：當 b 係負數，例如 x² - 6x，一半係 -3，平方係 9，寫成 (x - 3)²，呢個位好易錯。
• 開方時漏咗 ±：解方程時，開方一定要考慮正負兩個答案。

實用貼士：

• 多做練習：配方法係一種技能，一定要操練先至熟。你可以搵教科書嘅練習題，或者上網搵免費工作紙。
• 檢查答案：配完方之後，可以將 (x - h)² + k 展開，睇吓係咪等於原本嘅式，咁就可以驗證啱唔啱。
• 結合圖像理解：用圖像計算機或者手機App（例如Desmos）畫出 y = x² 同 y = (x - 3)² + 2，你會見到拋物線點樣平移，咁樣會更易明白。
• 溫習相關課題：配方法同因式分解、二次公式、拋物線圖像息息相關，建議一齊溫。你可以參考我哋嘅學習指南入面嘅數學溫習策略。

配方法喺DSE嘅考法

喺香港DSE數學科，配方法通常會以下列形式出現：

• 直接要求配方法：例如「將 y = 2x² - 8x + 5 寫成 a(x - h)² + k 嘅形式，並寫出頂點座標。」
• 解方程：題目可能指定要用配方法解 ax² + bx + c = 0，特別係當判別式唔係完全平方數時。
• 應用題：例如「某公司嘅利潤函數係 P(x) = -5x² + 100x - 200，求最大利潤。」呢類題目通常要你配方法然後搵頂點。
• 圖像變換：問你 y = (x - 2)² + 3 係由 y = x² 點樣平移得到。

喺作答時，記得要清晰展示步驟，因為DSE評分係按步驟俾分。即使最後答案錯，如果步驟正確，都可以拎到部分分數。另外，要留意題目有冇要求「準確至三位有效數字」或者「以根式表示」，呢啲細節會影響最終答案嘅寫法。

如果你係中三學生，想提前準備DSE，可以睇吓我哋嘅中學專區，入面有好多數學溫習資源。而家長如果想幫仔女打好基礎，都可以參考小學嘅數學遊戲，由細培養數感。

總結

Method of completing the square（配方法）係香港中學數學嘅核心技巧，無論係解方程、求頂點、定係理解拋物線，都離唔開佢。只要你跟住步驟，小心處理 a 嘅系數同符號，再配合適量練習，一定可以熟練掌握。記住，數學係靠練習，唔好怕錯，錯咗先會進步。

如果你覺得呢篇文章有用，歡迎分享俾其他同學仔。我哋網站仲有好多唔同嘅學習指南，涵蓋唔同科目，幫你喺DSE奪星。加油！

FAQ

配方法同二次公式有咩分別？

配方法係一種將二次多項式轉換成完全平方形式嘅技巧，而二次公式就係直接俾出方程 ax² + bx + c = 0 嘅解。其實二次公式就係由配方法推導出嚟，兩者本質相同。喺考試入面，如果題目冇指定方法，你可以揀自己熟練嘅一種；但如果題目指明「用配方法」，就一定要用配方法。

配方法係咪一定要學？

係，喺香港DSE數學課程入面，配方法係必修嘅技巧。佢唔單止喺二次方程出現，仲會用嚟求二次函數嘅頂點、最大值或最小值，甚至喺微積分嘅入門都會用到。所以一定要學識。

點樣先可以快啲掌握配方法？

最有效嘅方法就係大量練習。你可以由簡單嘅 x² + bx + c 開始，慢慢去到 ax² + bx + c。每次做完之後，用展開嚟驗證答案。另外，可以嘗試將配方法同圖像結合，用Desmos等工具畫出函數圖像，睇吓頂點位置，咁樣會更直觀。

配方法喺DSE佔幾多分？

DSE數學卷冇明確標明邊個課題佔幾多分，但二次函數同二次方程係每年必出嘅題目，而配方法係解決呢啲題目嘅重要工具。所以實際上佢嘅影響好大，可能涉及選擇題、長題目甚至應用題。建議你溫習時要熟練。

如果配方法成日錯，有咩補救方法？

首先，要檢查自己係咪喺步驟上出錯，例如忘記加減同一個數、或者處理 a 時出錯。你可以搵老師或者同學幫手睇吓你嘅步驟。另外，可以睇多啲例題，模仿正確嘅寫法。最後，唔好灰心，配方法係需要時間掌握嘅，只要每日練習幾題，好快會見到進步。