Linear Programming 線性規劃入門：香港DSE數學重點攻略

概述

Linear Programming（線性規劃）是香港DSE數學科必修部分的重要課題，屬於「代數與函數」及「圖像與幾何」的交叉應用。簡單來說，線性規劃是在一組線性約束條件（例如資源限制、時間限制）下，找出目標函數（例如最大利潤或最小成本）的最佳值。對於香港中五、中六學生而言，掌握線性規劃不僅有助應付考試，更能培養邏輯思維及解決現實問題的能力。本文將以粵語為基礎，結合繁體中文，詳細講解線性規劃的核心概念、解題步驟、常見陷阱及DSE應試技巧，並提供實用練習建議。

線性規劃的基本概念

什麼是線性規劃？

線性規劃是一種數學優化方法，用於在給定的線性不等式約束下，最大化或最小化一個線性目標函數。在香港DSE課程中，通常只涉及兩個變數（x 和 y），因此可以透過平面圖像來求解。

三個關鍵元素

決策變數（Decision Variables）：通常以 x 和 y 表示，代表我們可以控制的數量，例如生產兩種產品的數量。
約束條件（Constraints）：一組線性不等式，例如 x + y ≤ 100、x ≥ 0、y ≥ 0，這些條件限制了變數的可行範圍。
目標函數（Objective Function）：需要最大化或最小化的線性表達式，例如 P = 3x + 2y（代表利潤）。

可行區域（Feasible Region）

所有滿足所有約束條件的點 (x, y) 組成的區域稱為可行區域。在圖上，這通常是一個多邊形（可以是無界，但DSE題目多為有界）。最佳解必定出現在可行區域的頂點（角點）上，這是線性規劃的重要定理。

圖解法步驟（兩變數）

DSE考試中，最常要求學生使用圖解法求解。以下是標準步驟：

建立數學模型：從題目中抽出變數、約束條件和目標函數。例如：「工廠生產A和B兩種產品，A每件利潤$5，B每件利潤$3，生產A需2小時，B需1小時，每日最多工時10小時，且A的產量不超過B的兩倍。」則可設 x = A產量，y = B產量，約束為 2x + y ≤ 10、x ≤ 2y、x ≥ 0、y ≥ 0，目標為最大化 P = 5x + 3y。
繪畫約束條件的直線：將每個不等式轉為等式，例如 2x + y = 10，然後在坐標平面上畫出直線。注意判斷不等式區域（用測試點，如 (0,0)）。
標示可行區域：將所有不等式區域重疊，找出共同部分，即為可行區域，通常以陰影表示。
找出所有頂點：可行區域多邊形的每個角點，通常由兩條直線相交而成。需要解聯立方程求得坐標。
代入目標函數：將每個頂點坐標代入目標函數，比較數值，最大或最小者即為最佳解。

例子：接上題，約束直線為 2x + y = 10 和 x = 2y。解聯立：2(2y) + y = 10 → 5y = 10 → y = 2，x = 4。頂點包括 (0,0)、(5,0)（當 y=0 時 2x=10）、(0,? 但 y 無上限？其實 x=0 時 y=10，但需滿足 x≤2y，0≤20 成立，所以 (0,10) 也是頂點？但需注意 x≥0, y≥0，所以 (0,10) 是可行，但檢查 x≤2y 時 0≤20 成立，所以 (0,10) 是頂點。但通常會檢查所有交點。實際頂點有 (0,0)、(5,0)、(4,2)、(0,10)。代入 P：P(0,0)=0，P(5,0)=25，P(4,2)=20+6=26，P(0,10)=30。最大值為30，在 (0,10) 取得，即不生產A，只生產10件B。

常見題型與DSE應試技巧

題型分類

直接求最佳值：給出約束條件和目標函數，要求最大或最小值。
含整數要求：題目可能要求變數為整數（例如產品數量），此時最佳解可能在頂點附近，需要檢查整數點。
多目標比較：有時需要比較不同目標函數下的結果。
文字應用題：如工廠生產、運輸成本、營養組合等，需要先建立模型。

DSE常見陷阱

忽略非負條件：x ≥ 0 和 y ≥ 0 必須寫出，否則可行區域可能錯誤。
不等式方向混淆：繪圖時要小心「≤」和「≥」的區域，建議用測試點驗證。
頂點遺漏：必須找出所有頂點，特別是有多條直線相交時。
目標函數斜率與約束平行：若目標函數與某條約束邊界平行，則最佳解可能是一條線段上的所有點，但DSE通常只要求一個點。

應試技巧

熟練繪圖：使用直尺和鉛筆，清楚標示可行區域，方便閱卷員理解。
計算頂點坐標：聯立方程時要小心計算，避免粗心錯誤。
檢查答案合理性：例如產量不能為負數，利潤應為正數。
時間管理：線性規劃題目通常佔6-8分，建議在15分鐘內完成。

線性規劃的實際應用

線性規劃不僅是考試內容，在現實生活中亦廣泛應用。例如：

生產計劃：工廠在有限原料和工時下，決定生產不同產品的數量以最大化利潤。
運輸問題：在運輸成本限制下，分配貨物從多個倉庫到多個目的地，以最小化總運輸成本。
飲食調配：在營養要求下，選擇食物組合以最小化成本。
資源分配：學校編排時間表、醫院分配醫護人員等。

對於香港學生，理解這些應用有助於提升學習興趣，並在面試或個人簡介中展示數學的實用性。

學習資源與練習建議

官方資源

香港考試及評核局（HKEAA）：可參考歷屆DSE試題及評分標準，了解出題趨勢。
教育局數學教育組：提供課程指引及教學資源。

練習方法

基礎練習：先熟練繪畫單一不等式區域，再練習多個不等式重疊。
歷屆試題：下載近5年DSE數學卷一的線性規劃題目，限時完成。
網上互動工具：使用GeoGebra等軟件可視化可行區域，幫助理解。
小組討論：與同學互相出題，檢查對方步驟。

常見問題（FAQ）

1. 線性規劃是否一定要畫圖？

在DSE考試中，由於只涉及兩個變數，畫圖是標準做法，因為可以清晰顯示可行區域。但若題目要求，也可以使用單純形法（Simplex Method），但這不在課程範圍內。因此，畫圖是必須掌握的技巧。

2. 如果目標函數與約束線平行，怎麼辦？

當目標函數的斜率與某一條約束邊界相同時，最佳值可能出現在該邊界上的任何一點。此時，題目通常會要求「其中一個」最佳解，你只需指出其中一個頂點即可，但必須註明該邊界上的所有點都是最佳。

3. 線性規劃與其他數學課題有什麼關聯？

線性規劃涉及線性不等式、直線方程、聯立方程及圖像性質，與「函數圖像」、「不等式」及「線性方程」有直接關聯。此外，它也是日後學習「運籌學」的基礎。

4. 如何判斷不等式區域？

最簡單的方法是選取測試點（如原點 (0,0)），代入不等式。若成立，則該點所在的一側即為解區域；若不成立，則取另一側。但要小心，若直線通過原點，則需選其他點，如 (1,0)。

5. 有什麼常見的錯誤導致失分？

最常見的錯誤包括：忘記寫非負條件、繪圖時直線不準確、頂點計算錯誤、目標函數代入錯誤，以及沒有清楚標示最佳點。建議在答題時寫出所有步驟，並用文字說明最佳點的位置。

總結

Linear Programming（線性規劃）是DSE數學中一個實用且相對容易取分的課題，只要掌握圖解法的步驟，並細心處理不等式和頂點，就能穩取分數。對於香港學生而言，建議多練習歷屆試題，並將概念應用於生活例子，加深理解。若想進一步鞏固，可參考本校的數學學習資源，或瀏覽中學數學課程指南。家長亦可了解如何支援子女學習數學，從基礎開始打好根基。

記住，線性規劃的核心是「在限制中尋找最佳」，這不僅是數學技巧，更是解決問題的思維方式。祝各位同學考試順利！