Geometric Sequence 等比數列完全指南：香港 DSE 數學重點解析

概述

在香港 DSE 數學課程中，geometric sequence（等比數列） 是一個非常重要且經常出現的課題。無論是必修部分還是延伸部分（M1/M2），等比數列的概念都貫穿其中。對於正在準備文憑試的同學，又或者想幫子女打好數學基礎的家長，理解等比數列絕對是必備技能。

這篇文章會以最清晰、最實用的方式，為你拆解等比數列的所有重點，包括定義、通項公式、求和公式、常見題型，以及生活中的實際應用。我們亦會提供一些溫習貼士，幫助你在考試中穩取分數。

什麼是 Geometric Sequence？

Geometric sequence（等比數列） 是指一個數列中，從第二項開始，每一項與前一項的比值（稱為公比 common ratio）都保持不變。這個固定的比值通常以字母 ( r ) 表示。

簡單來說，就是「逐項乘以同一個數」的數列。

定義公式

若一個數列 ( a_1, a_2, a_3, \ldots ) 滿足：

[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = r \quad \text{（對於所有 ( n \geq 1 )）} ]

則這個數列就是等比數列，其中 ( r ) 是公比。

例子

• ( 2, 6, 18, 54, \ldots ) 是等比數列，因為每一項都是前一項乘以 3（公比 ( r = 3 )）。
• ( 100, 50, 25, 12.5, \ldots ) 是等比數列，因為每一項都是前一項乘以 0.5（公比 ( r = 0.5 )）。
• ( 5, -10, 20, -40, \ldots ) 是等比數列，因為每一項都是前一項乘以 -2（公比 ( r = -2 )）。

注意：公比可以是正數、負數或分數，但通常不等於 0（因為若 ( r = 0 )，數列會變成 ( a_1, 0, 0, \ldots )，雖然也算等比，但較少見）。

通項公式（General Term）

等比數列的第 ( n ) 項（通項）可以用以下公式表示：

[ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} ]

其中：

• ( a_1 ) 是首項（第一項）
• ( r ) 是公比
• ( n ) 是項數（正整數）

這個公式非常重要，幾乎所有等比數列的問題都會用到。

例題 1：求通項

已知一個等比數列的首項為 4，公比為 3，求第 6 項。

解：

[ a_6 = 4 \times 3^{6-1} = 4 \times 3^5 = 4 \times 243 = 972 ]

所以第 6 項是 972。

例題 2：求公比

已知等比數列的第 3 項是 18，第 6 項是 486，求首項和公比。

解：

設首項為 ( a_1 )，公比為 ( r )。

[ a_3 = a_1 r^2 = 18 ] [ a_6 = a_1 r^5 = 486 ]

將兩式相除：

[ \frac{a_1 r^5}{a_1 r^2} = \frac{486}{18} ] [ r^3 = 27 ] [ r = 3 ]

然後代入 ( a_1 r^2 = 18 )：

[ a_1 \times 9 = 18 ] [ a_1 = 2 ]

所以首項是 2，公比是 3。

等比數列求和公式（Sum of Geometric Sequence）

求等比數列前 ( n ) 項的和，有兩個常用公式，視乎公比是否等於 1。

當 ( r \neq 1 ) 時：

[ S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} ]

或等效地：

[ S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1} ]

兩個公式都正確，使用哪個視乎你喜歡哪種形式。建議使用第一個，因為它較常見。

當 ( r = 1 ) 時：

所有項都等於 ( a_1 )，所以：

[ S_n = n \cdot a_1 ]

例題 3：求前 n 項和

求等比數列 ( 3, 6, 12, 24, \ldots ) 的前 8 項之和。

解：

首項 ( a_1 = 3 )，公比 ( r = 2 )，( n = 8 )。

[ S_8 = \frac{3(1 - 2^8)}{1 - 2} = \frac{3(1 - 256)}{-1} = \frac{3(-255)}{-1} = 765 ]

所以前 8 項之和是 765。

無窮等比數列（Infinite Geometric Series）

當等比數列有無限多項時，如果公比的絕對值小於 1（即 ( |r| < 1 )），則這個無窮級數會收斂到一個有限值。其和為：

[ S_{\infty} = \frac{a_1}{1 - r} ]

如果 ( |r| \geq 1 )，則無窮級數發散，即沒有有限和。

例題 4：無窮級數求和

求無窮等比級數 ( 10 + 5 + 2.5 + 1.25 + \ldots ) 的和。

解：

首項 ( a_1 = 10 )，公比 ( r = 0.5 )。

[ S_{\infty} = \frac{10}{1 - 0.5} = \frac{10}{0.5} = 20 ]

所以這個無窮級數的和是 20。

等比數列的應用

等比數列在現實生活中有很多應用，以下是一些常見的例子，亦有助你理解這個概念為何重要。

1. 銀行複利息

銀行存款或貸款的複利息計算，其實就是等比數列的應用。例如，如果你存入 $10,000，年利率為 5%，每年複利一次，那麼每年的帳戶餘額就是一個等比數列：

• 第 1 年：( 10000 \times 1.05 )
• 第 2 年：( 10000 \times 1.05^2 )
• 第 3 年：( 10000 \times 1.05^3 )

公比就是 ( 1.05 )。

2. 細胞分裂

生物學中，細胞每次分裂都會加倍，所以數量增長是等比數列。例如，一個細胞每小時分裂一次，那麼 ( n ) 小時後的細胞數量就是 ( 2^n )（假設沒有死亡）。

3. 摺紙問題

一張紙每次對摺，厚度會加倍。如果一張紙的厚度是 0.1 毫米，對摺 10 次後，厚度就是 ( 0.1 \times 2^{10} = 102.4 ) 毫米，超過 10 厘米！這就是等比數列的威力。

4. 折舊

機器或汽車的價值每年按固定比例減少，這也是一種等比數列（公比小於 1）。例如，一部汽車價值 $200,000，每年折舊 15%，那麼 ( n ) 年後的價值就是 ( 200000 \times 0.85^n )。

常見題型與解題技巧

在 DSE 考試中，等比數列通常會與其他課題結合，例如指數函數、對數或應用題。以下是一些常見題型及應對方法。

題型 1：求特定項

直接使用通項公式，代入已知條件。

技巧： 如果知道兩項，可以透過相除消去首項，先求公比。

題型 2：求項數

有時會給出某一項的值，要求項數 ( n )。這通常需要用到對數。

例題 5： 在等比數列 ( 2, 6, 18, \ldots ) 中，哪一項是 1458？

解：

首項 ( a_1 = 2 )，公比 ( r = 3 )。

設第 ( n ) 項是 1458：

[ 2 \times 3^{n-1} = 1458 ] [ 3^{n-1} = 729 ] [ 3^{n-1} = 3^6 ] [ n-1 = 6 ] [ n = 7 ]

所以第 7 項是 1458。

題型 3：等比中項

如果三個數 ( a, b, c ) 成等比數列，則 ( b^2 = ac )。這個性質有時會用來解題。

題型 4：應用題

仔細閱讀題目，找出首項和公比，然後套用公式。記得留意單位和題目要求的是「第幾項」還是「前 n 項和」。

溫習建議

1. 熟記公式：通項公式和求和公式必須背熟，並且知道每個符號的意思。
2. 多做練習：數學需要動手做，建議每天做 3-5 題等比數列的題目，包括不同題型。
3. 理解而非死記：嘗試理解公式的推導過程，例如求和公式是透過「錯位相減」得出，這樣記憶會更深刻。
4. 聯繫生活：想想生活中的等比數列例子，例如銀行利息或細菌繁殖，這有助你建立直觀感覺。

如果你需要更多練習資源，可以參考 香港教育局的數學資源（注意：此連結僅供參考，並非官方試題）。另外，我們網站亦有其他數學課題的指南，例如 等差數列完全攻略，可以一併溫習。

常見錯誤提醒

• 混淆等比和等差：等差數列是「加同一個數」，等比數列是「乘同一個數」，千萬不要搞錯。
• 公比符號錯誤：當公比是負數時，項的符號會交替改變，計算時要小心。
• 求和公式的 n 值：記得 ( n ) 是項數，不是最後一項的指數。例如前 5 項和，( n = 5 )，公式中的 ( r^n ) 是 ( r^5 )。
• 無窮級數的條件：只有當 ( |r| < 1 ) 時，無窮級數才有和，否則會發散。

總結

Geometric sequence（等比數列） 是 DSE 數學中一個基礎而重要的課題。只要掌握定義、通項公式、求和公式，以及無窮級數的條件，你就能應付大部分題目。記住，數學是需要練習的，多做一些不同類型的題目，自然會越來越熟練。

如果你對這個課題還有疑問，或者想了解更多數學學習技巧，歡迎瀏覽我們網站的其他文章，例如 中學數學溫習策略。祝你在 DSE 取得好成績！