General Form of Circle 完全指南：香港DSE數學必學重點

概述

喺香港DSE數學科（必修部分）嘅座標幾何課題入面，general form of circle（圓的一般式）係一個不可或缺嘅基礎概念。無論你係中四開始接觸圓方程，定係中五、中六準備應考，掌握圓嘅一般式都係攞分嘅關鍵。好多同學淨係背公式，但唔明白背後嘅原理，導致一遇到變化題型就束手無策。呢篇指南會由零開始，用最簡單嘅語言解釋 general form of circle 嘅定義、同標準式嘅轉換方法、點樣快速搵出圓心同半徑，再配合實戰例題同DSE常見陷阱，幫你打好基礎、提升成績。

咩係 General Form of Circle？

圓嘅方程有兩種常見表示法：標準式（standard form）同一般式（general form）。標準式係 $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$，其中 $(h,k)$ 係圓心，$r$ 係半徑。而 general form of circle 就係將標準式展開、整理後嘅形式：

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$

呢度 $D$、$E$、$F$ 都係常數。留意，圓嘅一般式有兩個重要特徵：

• $x^2$ 同 $y^2$ 嘅係數必定相同（通常係1，如果唔係就要先化簡）
• 方程入面冇 $xy$ 項（即交叉項）

如果一個二次方程符合以上條件，佢就代表一個圓（或者特殊情況下係一個點或冇實數解）。

標準式與一般式嘅轉換

由標準式轉一般式

呢個過程好直接：只要將標準式展開，然後整理成 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 就得。例如：

圓心 $(2, -3)$，半徑 $5$，標準式係 $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$。展開：

$$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 25$$

$$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 25$$

$$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$$

所以一般式就係 $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$。

由一般式轉標準式（重點！）

呢個係DSE最常考嘅步驟，方法係「配方」（completing the square）。假設有一般式 $x^2 + y^2 + 6x - 8y + 9 = 0$，我哋要將 $x$ 同 $y$ 分別配方：

1. 將常數項移到右邊：$x^2 + 6x + y^2 - 8y = -9$
2. 對 $x$ 配方：$(x^2 + 6x + 9) = (x+3)^2$，因為 $(6/2)^2 = 9$
3. 對 $y$ 配方：$(y^2 - 8y + 16) = (y-4)^2$，因為 $(-8/2)^2 = 16$
4. 兩邊同時加 $9+16=25$：$(x+3)^2 + (y-4)^2 = -9 + 25 = 16$

所以圓心係 $(-3, 4)$，半徑係 $\sqrt{16} = 4$。

快速公式：如果一般式係 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，圓心就係 $\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$，半徑就係 $\sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F}$。呢條公式可以幫你慳時間，但一定要記住：前提係 $x^2$ 同 $y^2$ 嘅係數係1。如果唔係，要先成條方程除以該係數。

點樣判斷一個方程係咪圓？

好多同學會混淆圓、點同「冇圖形」嘅情況。其實只要用半徑公式就分到：

• 如果 $\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F > 0$：代表一個實圓（半徑大過0）
• 如果 $= 0$：代表一個點（半徑0，即退化圓）
• 如果 $< 0$：代表冇實數圖形（因為半徑嘅平方係負數）

例如方程 $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 10 = 0$，計算：$(1)^2 + (-2)^2 - 10 = 1 + 4 - 10 = -5 < 0$，所以呢個方程唔代表任何圓。呢類題目成日以「判斷題」出現，要小心。

常見題型同解題步驟

題型一：俾圓心同半徑，求一般式

步驟好簡單：先用標準式寫出方程，再展開成一般式。例如圓心 $(1, 2)$，半徑 $3$，標準式 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$，展開後得到 $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$。

題型二：俾三點，求圓方程

呢個係DSE經典題型。方法有兩種：

1. 代點法：設一般式 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，將三點坐標代入，得到三個聯立方程，解出 $D, E, F$。
2. 幾何法：利用圓心到三點距離相等，或者求兩條弦嘅垂直平分線交點。

建議同學熟練代點法，因為佢直接而且唔容易出錯。例如三點 $A(1,2)$、$B(3,4)$、$C(5,2)$，代入後得到三個方程，用加減消元法解出 $D=-6, E=-4, F=8$，所以方程係 $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 8 = 0$。

題型三：求圓心同半徑（由一般式）

直接用快速公式，或者配方。例如 $x^2 + y^2 - 10x + 6y + 18 = 0$，圓心 $(5, -3)$，半徑 $\sqrt{25 + 9 - 18} = \sqrt{16} = 4$。

題型四：直線與圓相交／相切

將直線方程代入圓方程，得到一個二次方程，然後用判別式 $\Delta$ 判斷：

• $\Delta > 0$：兩個交點（相交）
• $\Delta = 0$：一個交點（相切）
• $\Delta < 0$：沒有交點（分離）

呢類題目通常會配合「求切線方程」或者「求弦長」一齊考，係DSE卷二（MC）同卷三（LQ）嘅熱門。

香港DSE應試技巧同常見陷阱

技巧一：熟練配方，唔好淨係背公式

雖然快速公式好用，但如果你喺考試緊張時忘記咗，配方就係你嘅後備方案。而且配方過程可以幫助你檢查答案。建議每次做完題目，都用標準式核對一次圓心同半徑。

技巧二：留意係數唔係1嘅情況

如果方程係 $2x^2 + 2y^2 + 4x - 6y + 1 = 0$，記住要先除以2，變成 $x^2 + y^2 + 2x - 3y + 0.5 = 0$，先可以用公式。好多同學直接當 $D=4$，搞到錯晒。

技巧三：判別式嘅應用要小心

當你將直線代入圓方程時，如果直線嘅斜率唔存在（即垂直線），要分開處理。另外，如果二次方程嘅 $x^2$ 係數係0（即直線方程代入後消去 $x^2$），代表直線同圓只可能有一個交點（即切線），要識得判斷。

陷阱一：忘記半徑要開方

好多同學計到 $r^2 = 25$，就寫半徑係25，其實應該係5。記住半徑係正數，要開方。

陷阱二：圓心坐標符號搞錯

由一般式 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，圓心係 $(-D/2, -E/2)$，好多同學會漏咗負號。例如 $D=6$，圓心 x 坐標係 $-3$，唔係 $3$。

陷阱三：忽略 $F$ 嘅影響

喺半徑公式入面，$F$ 係用減嘅。如果 $F$ 好大，可能導致 $r^2$ 係負數，即係冇圓。要檢查清楚。

實戰例題（含詳細步驟）

例題：已知圓嘅一般式為 $x^2 + y^2 - 8x + 4y - 5 = 0$，求圓心、半徑，並判斷點 $P(1, 2)$ 喺圓內、圓上定圓外。

解：

1. 用公式：$D = -8, E = 4, F = -5$
2. 圓心：$\left(-\frac{-8}{2}, -\frac{4}{2}\right) = (4, -2)$
3. 半徑：$r = \sqrt{(-4)^2 + (2)^2 - (-5)} = \sqrt{16 + 4 + 5} = \sqrt{25} = 5$
4. 判斷點 $P$：計算 $P$ 到圓心距離 $d = \sqrt{(1-4)^2 + (2-(-2))^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$，因為 $d = r$，所以 $P$ 喺圓上。

例題：求經過三點 $A(0,0)$、$B(2,0)$、$C(0,4)$ 嘅圓方程。

解：

設一般式 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。

• 代入 $A$：$0 + 0 + 0 + 0 + F = 0 \Rightarrow F = 0$
• 代入 $B$：$4 + 0 + 2D + 0 + 0 = 0 \Rightarrow 2D = -4 \Rightarrow D = -2$
• 代入 $C$：$0 + 16 + 0 + 4E + 0 = 0 \Rightarrow 4E = -16 \Rightarrow E = -4$

所以方程係 $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$。

總結

General form of circle 係香港DSE數學嘅核心課題，唔單止喺選擇題出現，長題目都成日會用到。只要掌握標準式同一般式嘅互換、熟練配方技巧、留意常見陷阱，你就能夠穩陣攞分。建議同學平日多做練習，特別係「俾三點求圓」同「直線與圓關係」呢兩類題型。如果想系統咁溫習其他數學課題，可以參考我哋嘅學習指南，或者睇吓中學嘅相關資源。對於初中同學，都可以提早了解，為DSE打好基礎。

記住，數學最緊要明原理，唔好死背。遇到唔明白嘅地方，不妨請教老師或者同學，又或者搵數學補習嘅專業導師幫手。加油！