Equation of a Circle 圓方程完全指南：DSE數學必學技巧

概述

喺香港中學文憑試（DSE）數學科嘅座標幾何課題中，equation of a circle（圓方程）係一個核心概念，幾乎每年都會出現喺卷一或卷二。無論你係中四開始接觸，定係中六臨考前衝刺，掌握圓方程嘅標準式同一般式，以及兩者之間嘅轉換，都係攞分嘅關鍵。

呢篇指南會用香港學生熟悉嘅語言，由基礎定義講到進階應用，配合例題同常見陷阱，幫你一次過搞掂圓方程。我哋亦會提供實用嘅溫習貼士，令你可以更有效率咁準備考試。如果想睇更多學習策略，可以參考我哋嘅學習指南。

圓方程嘅基本形式

標準式（Centre-Radius Form）

圓方程最直接嘅寫法係標準式：

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

其中 $(h, k)$ 係圓心座標，$r$ 係半徑（$r > 0$）。呢個式嘅好處係一眼就睇到圓心同半徑，例如：

• 圓心 $(2, -3)$，半徑 $5$，方程就係 $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$。

一般式（General Form）

將標準式展開並整理，可以得到一般式：

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$

例如，將上面例子展開：$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 25$，化簡後得到 $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$，所以 $D = -4$，$E = 6$，$F = -12$。

一般式嘅好處係方便處理直線與圓嘅交點問題，但缺點係圓心同半徑唔明顯。因此，好多時候需要將一般式轉換返做標準式。

由一般式求圓心同半徑

呢個係DSE常見題型，方法係「配方」（Completing the Square）。步驟如下：

1. 將 $x$ 項同 $y$ 項分別分組：$(x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) = -F$。
2. 對 $x$ 項配方：$(x + \frac{D}{2})^2 - (\frac{D}{2})^2$。
3. 對 $y$ 項配方：$(y + \frac{E}{2})^2 - (\frac{E}{2})^2$。
4. 整理後得到標準式，圓心為 $(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$，半徑 $r = \sqrt{(\frac{D}{2})^2 + (\frac{E}{2})^2 - F}$。

例題：求圓 $x^2 + y^2 + 6x - 4y - 12 = 0$ 嘅圓心同半徑。

解答：

• $D = 6$，$E = -4$，$F = -12$。
• 圓心：$(-\frac{6}{2}, -\frac{-4}{2}) = (-3, 2)$。
• 半徑：$r = \sqrt{(3)^2 + (-2)^2 - (-12)} = \sqrt{9 + 4 + 12} = \sqrt{25} = 5$。

所以圓心係 $(-3, 2)$，半徑係 $5$。

常見題型與解題技巧

1. 已知三點求圓方程

如果圓通過三個點，可以將三點代入一般式，得到三個聯立方程，解出 $D$、$E$、$F$。呢個方法雖然直接，但有時計算量大，要小心唔好出錯。

貼士：如果三點中有兩點嘅 $x$ 或 $y$ 座標相同，可以考慮用中垂線方法求圓心，會快好多。

2. 直線與圓嘅相交問題

將直線方程代入圓方程，會得到一個二次方程。利用判別式 $\Delta$：

• $\Delta > 0$：直線與圓相交於兩點。
• $\Delta = 0$：直線與圓相切。
• $\Delta < 0$：直線與圓沒有交點。

呢類題目經常考，特別係切線方程，要記住切線垂直於半徑。

3. 圓與圓嘅位置關係

比較兩圓嘅圓心距離 $d$ 同半徑 $r_1, r_2$：

• $d > r_1 + r_2$：外離。
• $d = r_1 + r_2$：外切。
• $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$：相交於兩點。
• $d = |r_1 - r_2|$：內切。
• $d < |r_1 - r_2|$：內離。

呢啲關係喺DSE選擇題成日出現，要熟記。

常見錯誤與避免方法

好多學生喺圓方程題目失分，通常係因為以下幾個原因：

1. 符號錯誤：例如圓心 $(h, k)$ 喺標準式入面係 $(x - h)$，如果圓心係負數，好容易寫錯。記住：$(x - (-2))$ 即係 $(x + 2)$。
2. 配方出錯：配方時忘記加返常數項，或者漏咗 $F$ 嘅符號。建議每次配方後，將圓心半徑代返入去驗算。
3. 半徑為負：半徑一定要正數，如果計出嚟係負數，代表你配方或計算有誤。
4. 忽略 $x^2$ 同 $y^2$ 嘅係數：一般式要求 $x^2$ 同 $y^2$ 嘅係數都係 $1$，如果題目俾你 $2x^2 + 2y^2 + ...$，要先除以 $2$ 先可以應用公式。

溫習建議與資源

要熟練圓方程，一定要多做練習。建議你：

• 每日做 3-5 題圓方程相關題目，包括標準式轉一般式、一般式求圓心半徑、直線與圓相交等。
• 將錯題整理成筆記，特別係自己成日錯嘅步驟。
• 利用網上資源，例如教育局嘅中學數學課程（注意：呢個係官方網站，但唔好依賴佢搵練習，最好用教科書或補充練習）。

如果你需要系統性溫習，可以參考我哋嘅中學學習資源，或者針對基礎概念睇小學同幼稚園嘅內容（雖然圓方程係中學課題，但基礎代數好重要）。

總結

Equation of a circle 係DSE數學嘅必考課題，只要掌握標準式同一般式嘅轉換，熟練配方技巧，同埋明白直線與圓嘅關係，就唔難攞分。記住要小心符號同計算，多做練習，自然熟能生巧。

如果你覺得呢篇指南有用，歡迎分享俾同學，一齊進步！

常見問題 (FAQ)

1. 圓方程嘅標準式同一般式有咩分別？

標準式 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ 直接顯示圓心 $(h, k)$ 同半徑 $r$，方便幾何理解；一般式 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 適合代數運算，例如聯立方程。兩者可以互相轉換，考試時要靈活運用。

2. 點樣快速判斷一個方程係咪圓方程？

一個二元二次方程如果同時滿足：$x^2$ 同 $y^2$ 嘅係數相等且非零，冇 $xy$ 項，而且 $D^2 + E^2 - 4F > 0$，就代表佢係一個圓方程。如果 $D^2 + E^2 - 4F = 0$，就係一個點；如果細過零，就冇實數圖像。

3. 直線同圓相切嘅條件係咩？

將直線方程代入圓方程後，得到嘅二次方程判別式 $\Delta = 0$，就代表直線同圓只有一個交點，即係相切。另外，切線垂直於過切點嘅半徑，可以用呢個性質求切線方程。

4. 圓方程題目成日計錯數，有咩方法避免？

最有效嘅方法係「驗算」：計完圓心同半徑之後，將佢代返入標準式，再展開睇下係咪等於原本嘅一般式。另外，做配方時每一步都寫清楚，唔好跳步，減少出錯機會。

5. 圓方程喺DSE佔幾多分？

根據考評局嘅歷年試卷，圓方程通常會出現喺卷一（長題目）或卷二（選擇題），分數約佔 3-7 分，但佢嘅概念會同其他課題（如直線方程、二次曲線）結合，所以實際影響可能更大。建議大家唔好輕視呢個課題。