cumulative frequency polygon 全面指南：香港DSE數學必學技巧

概述

在DSE數學科（必修部分）的數據處理課題中，cumulative frequency polygon（累積頻數多邊形）是學生必須掌握的圖表之一。它不僅用來顯示數據的累積分佈，更常與箱形圖（box-and-whisker diagram）結合，找出中位數、四分位數等統計量。對於香港中學生來說，這類題目在文憑試和校內考試均有一定分數佔比，理解其繪製方法及解讀要點，可視為穩固數學基礎的重要一步。

本文將由淺入深地介紹累積頻數多邊形的概念、繪製步驟、應用陷阱，並提供以香港中學文憑（HKDSE）為導向的實例與貼士，幫助學生在面對這類題目時更為牙切齒（應是得心應手）。

什麼是累積頻數多邊形？

定義與用途

累積頻數多邊形（cumulative frequency polygon）是一條連接各組別累積頻數點的折線。它將原本的頻數分佈表轉化為一個連續趨勢，使讀者能一眼看出「少於某個值」的數據總數（或百分比）。例如，在數學成績的分佈中，若繪製累積頻數多邊形，可快速找出及格人數、某分數以下的考生人數等。

它與累積頻數曲線（ogive）常被混淆，其實兩者幾近相同，差別只在於數點間以直線或滑動曲線連接；在DSE試卷，兩者均可接受，但以折線形式繪圖更為常見，也較易確保準確。

繪製步驟完全指南

準備累積頻數表

首先，你需要一張包含組限、組中點及頻數的數據表。假設某校中一學生數學測驗成績如下（以班級為例）：

分數（組限）	頻數	累積頻數
0-10	5	5
10-20	15	20
20-30	20	40
30-40	12	52
40-50	8	60

注意：累積頻數的計算方式是將頻數由第一組開始逐一加總。表內最後一行的累積頻數應等於總頻數（全班的學生總數）。

定點及繪圖

繪製時，橫軸代表數據的「上界」（即組上限），而非組中點。以上表為例，點應為：(10, 5)、(20, 20)、(30, 40)、(40, 52)、(50, 60)。然後將這些點用直線逐一連起，就會形成一段為該數據的累積頻數多邊形。

初學者常因疏忽上界與下界而將點繪錯位置，建議先在表中加一行「上界」欄目，避免錯漏。

使用方格紙的貼士

在學校考試中，通常需使用方格紙繪畫，建議用鉛筆輕描，制於上筆真確。若需在電腦上製作，可使用試算表軟件（如Excel）的折線圖，但DSE或校內卷要求手繪者多，熟練基本功。

如何閱讀圖表與抽取統計量

找中位數及四分數

由累積頻數多邊形旁，我們能看到一條y軸由0開始的斜線。若總頻數為N，則中位數對應的累積頻數為 N/2，以此在y軸處畫一水平線，碰到圖線，即可從x軸讀出中位數。同理，下四分位數為N/4，上四分位數為3N/4。例如上述數據N=60，中位數位置為30：在y=30畫水平線，遇線下垂至x軸，約為25.5分（視乎圖形與級距）。

這方法在DSE 2014年及2015年均試過，由於繪圖誤差可接受，主冊及卷二甲部均考查過此技能。考生掌握時，需敬重繪圖中的直線比例，一般不要求高精準，只要有合理讀數即可。

比較兩組數據

有時題目會配上兩條累積頻數多邊形，用以比較兩個組別（如不同班級的分數）。則可觀察哪條線於對象的位置較右移或變平緩，反映該組數據的差異。這類題目往往要求學生用圖說明哪一組成績中位數較高，或誰之間分數離，因此亦需熟悉「繪圖比較」這類表述。

常見誤解與陷阱及應對方法

錯誤一：將點繪於組中點例

很多學生誤將累積頻數對應組中點，例如在10-20組中繪(15, 20)，這會令圖形偏移。正確是使用上界（即20），因為「少於20分」的累積頻數才是20。

錯誤二：忽略上界零起點

有些學生只繪出最細組的上界開始連線，但應加入一個起始點（如果數據最低由0開始，可加(0, 0)）確保線段正確由此可。但若數據不從零出發，則不需強加原點，確保畫線不必延伸至零。

錯誤三：頻數加息錯誤

計算累積時容易忽略「大於或等於」與「少於」的區別。若果題目指的是「大於等於某值」，則應先製作累積頻數相反表或倒序表。一般香港文憑試題會明確指明「少於」或「不超過」，需小心閱讀。

實例解說：用真實數據逐步分析

例題：40名學生的測驗分數表（0至50之分。

分數	頻數	累積頻數
0-10	4	4
10-20	8	12
20-30	12	24
30-40	10	34
40-50	6	40

製作累積頻數多邊形，並找中位數。

解法：點(0,0)、(10,4)、(20, 12)、(30, 24)、(40, 34)、(50, 40)沿線連接。總頻數=40，中位數位置為20，沿x軸於20處畫垂直線，碰到圖形後向下讀，x約為25（因為在20分時有12人，30分時有24人，故中位數落在20-30組中）。這類計算若按比例，從圖讀出約是25分。

若同學以這種方式練習數次，便能理壓力地應付此類統計題目。

如何將此技巧應用於DSE及校內試

熟悉考評局的典型問法

近年DSE卷二選擇題及卷三（或卷，因2024年新制）均有累積頻數多邊形的表格題：部分需計算四分位數以繪畫箱形圖；或從圖互推眾數差異。因此，多Ｄ打印真題加以練習，尤其是利用評考局的樣本，建議參考HKDSE數學科試題（注：此為官方連結，不會提供具體內容）。

圖形與量算的複習方向

香港學生在數學科上，普遍對圖形閱讀較為無頭緒，往往因率低而失分。要改善，可以將每週的數據測驗結果自製累積頻數多邊形，既應用課堂知識，又作自我評監，商討校內成績。若知道大家常用，亦能應用到選校指南中比較不同學校成績分佈，協助選讀中學時更有信心。

此外，若你正準備升學或研究小學的派位資訊，同樣可運用統計圖以了解各區學額分佈，增加選擇時的數據分析敏銳度。

常見一些學習資源及進一步閱讀

• 中文網路資源：可於YouTube尋找「Cumulative Frequency Polygon 擠多邊形」影片，有助以快進方式理解重點。
• 學校練習：善用學校提供的歷屆測驗卷，先完成畫圖，再對答案。
• 參考幼稚園與升小統計，甚至有童心的發想，但處理數據的方式一致。

結合日常生活應用

將累積頻數多邊形用於個人興趣，例如追蹤每週英文詞彙累積數量，或用來記錄每天運動分鐘數、每月的成長趨勢。這種習慣可強化圖像記憶，讓統計概念更自然內化。

總結

累積頻數多邊形除應付考試，亦是用於生活理解數據的實用能力。香港數學科著重實際應用，掌握繪畫與解讀，是學統計單元的基石。建議同學每週至少畫一幅，清晰每個步驟，配上諮詢老師或同學，確保圖形準確。多加訓練便能應付DSE的統計題，更利於日後分析工作或進修統計學。有效將知識含進學習恆，以見成效。