Cross Method 完全指南：香港學生必學的因式分解技巧

概述

喺香港中學數學課程入面，因式分解（Factorization）係一個極之重要嘅基礎概念，尤其係喺處理二次方程、函數圖像以至DSE數學卷嘅題目時，幾乎無處不在。而喺眾多因式分解方法之中，Cross Method（又稱十字相乘）係最常用、最直接嘅技巧之一。

好多同學初初接觸Cross Method時，會覺得步驟繁複，容易搞亂符號同數字。但其實只要掌握當中的邏輯同口訣，Cross Method可以話係最快、最準嘅因式分解方法。本指南會以香港學生嘅角度，由淺入深拆解Cross Method嘅原理、步驟、常見陷阱，並提供大量實戰例子，幫助你喺考試入面穩操勝券。

無論你係中三開始學因式分解，定係中五準備DSE，呢篇文章都會係你嘅最佳溫習夥伴。我哋仲會提供一啲練習建議，等你唔使死記硬背，真正明白背後嘅數學原理。

Cross Method 嘅基本原理

Cross Method 嘅核心係將一個二次多項式 ax² + bx + c 分解成兩個一次因式嘅乘積，即 (px + q)(rx + s)。展開之後：

(px + q)(rx + s) = prx² + (ps + qr)x + qs

所以，我哋需要搵到四個數字 p、q、r、s，令到：

• pr = a（二次項系數）
• qs = c（常數項）
• ps + qr = b（一次項系數）

Cross Method 就係透過交叉相乘嚟檢驗呢個條件。步驟如下：

1. 將二次項系數 a 分解成兩個因數 p 同 r，寫喺左上同右下。
2. 將常數項 c 分解成兩個因數 q 同 s，寫喺右上同左下。
3. 交叉相乘：p × s 同 r × q。
4. 將兩個乘積相加，如果等於 b，就成功；否則就要調整因數組合。

呢個過程就好似畫一個交叉，所以叫做 Cross Method。

詳細步驟教學（附例子）

等我哋用一個具體例子嚟示範：

例一：分解 x² + 5x + 6

• 二次項系數係 1，所以 p = 1，r = 1（因為 1×1 = 1）
• 常數項係 6，需要搵兩個因數相乘等於 6，同時相加等於 5（因為 b = 5）。

嘗試組合：

• 2 同 3：2×3 = 6，2+3 = 5 ✔

所以 q = 2，s = 3（或者掉轉都得）。

交叉檢驗：1×3 + 1×2 = 3 + 2 = 5 ✔

因此，x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

例二：分解 2x² + 7x + 3

• 二次項系數係 2，可以分解成 1 同 2（或者 2 同 1）
• 常數項係 3，可以分解成 1 同 3（或者 3 同 1）

嘗試組合：

• 假設 p=1，r=2；q=1，s=3
• 交叉相乘：1×3 = 3，2×1 = 2，相加 = 5 ≠ 7 ✘

調整：將 q 同 s 掉轉，即 q=3，s=1

• 交叉相乘：1×1 = 1，2×3 = 6，相加 = 7 ✔

所以，2x² + 7x + 3 = (x + 3)(2x + 1)

例三：分解 x² - 2x - 8

• 二次項系數係 1，所以 p=1，r=1
• 常數項係 -8，需要兩個因數相乘等於 -8，同時相加等於 -2。

嘗試組合：

• (-4) 同 2：(-4)×2 = -8，(-4)+2 = -2 ✔

所以 q = -4，s = 2

交叉檢驗：1×2 + 1×(-4) = 2 - 4 = -2 ✔

因此，x² - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)

常見錯誤及破解方法

即使明白步驟，同學都好容易犯以下錯誤：

1. 忽略負號

好多時分解常數項時，淨係諗正因數，但其實要考慮負數組合。例如 x² - 5x + 6，常數項係 +6，但一次項係 -5，所以兩個因數都應該係負數：(-2) 同 (-3)。

破解：每次分解常數項時，都要同時考慮正負組合，並交叉相乘檢驗。

2. 二次項系數唔係 1 時亂咁試

當 a 唔等於 1，例如 2x² + 5x + 2，同學可能試好多組合都唔啱。其實要系統咁列出所有可能因數組合，再逐個檢驗。

破解：可以先固定 p 同 r 嘅其中一個組合，然後試晒 q 同 s 嘅可能性。如果唔得，再掉轉 p 同 r。

3. 忘記提取公因數

有時多項式本身有公因數，例如 2x² + 4x + 2，應該先提取 2，變成 2(x² + 2x + 1)，再用 Cross Method 分解括號入面。

破解：做任何因式分解之前，一定要檢查有冇公因數可以提取。

4. 符號混淆

當一次項系數係負數，或者常數項係負數時，好容易搞錯正負號。

破解：建議用口訣「首尾分解，交叉相乘，求和驗中」，即係將二次項同常數項分解，交叉相乘後相加，睇下等唔等於一次項。

進階技巧：處理複雜系數

有時題目會出分數系數或者大數字，例如：

例四：分解 6x² - 7x - 3

• 二次項系數 6，可以分解成 1×6、2×3、3×2、6×1
• 常數項 -3，可以分解成 1×(-3)、(-1)×3、3×(-1)、(-3)×1

系統嘗試：

• 嘗試 p=2，r=3；q=1，s=-3

• 交叉相乘：2×(-3) = -6，3×1 = 3，相加 = -3 ≠ -7 ✘

• 嘗試 p=2，r=3；q=-3，s=1

• 交叉相乘：2×1 = 2，3×(-3) = -9，相加 = -7 ✔

所以，6x² - 7x - 3 = (2x - 3)(3x + 1)

貼士：如果系數太大，可以先用短除法或者因數表列出所有可能，再快速篩選。另外，記住交叉相乘嘅結果一定要等於一次項系數，呢個係唯一標準。

點樣將 Cross Method 應用喺 DSE 題目？

喺香港DSE數學科，Cross Method 經常出現喺以下場景：

• 解二次方程：將方程一邊因式分解，然後令每個因式等於零。
• 化簡分式：分子分母同時因式分解，然後約簡。
• 函數圖像：搵 x-intercept 時需要解 f(x) = 0。
• 不等式：解二次不等式時，需要先因式分解。

例如，DSE 經典題型：

例五：解方程 2x² - 5x - 3 = 0

用 Cross Method：

• 2x² 可以分解成 2x 同 x
• 常數項 -3 可以分解成 1 同 -3，或者 -1 同 3

嘗試：

• (2x + 1)(x - 3) 展開：2x² - 6x + x - 3 = 2x² - 5x - 3 ✔

所以方程變成 (2x + 1)(x - 3) = 0，因此 x = -1/2 或 x = 3。

呢類題目喺DSE Paper 1 同 Paper 2 都會出現，所以熟練 Cross Method 絕對係攞分關鍵。

練習建議及資源

要真正掌握 Cross Method，一定要多練習。以下係一啲建議：

• 每日做 5 題：由簡單嘅 a=1 開始，慢慢過渡到 a>1 同負數。
• 自製因數表：將常見數字嘅因數組合寫低，加快運算速度。
• 檢查答案：展開你嘅因式，睇下係咪等於原式，確保無錯。

另外，你可以參考學校嘅教科書或者網上資源，例如 教育局 嘅數學教材，或者 中學 嘅練習題。如果你係小學生，都可以提早認識一啲基礎因式分解概念，為將來打好基礎。

我哋網站仲有其他數學技巧文章，例如 因式分解進階技巧 同 二次方程完全攻略，你可以一併參考。

常見問題 (FAQ)

Q1: Cross Method 同其他因式分解方法有咩分別？

A: Cross Method 主要用於二次多項式，尤其係 ax² + bx + c 嘅形式。其他方法好似提取公因數、平方差公式、完全平方等，各有適用場景。Cross Method 嘅好處係通用性高，只要係二次三項式都用到，而且步驟直接。

Q2: 如果 Cross Method 試極都唔得，點算？

A: 首先檢查有冇提取公因數，然後確認你嘅因數組合係咪齊全。如果真係搵唔到，可能個多項式係「不可約」（即質多項式），例如 x² + x + 1，喺實數範圍內無法分解。呢個時候就要用二次公式（Quadratic Formula）嚟判斷。

Q3: 考試時用 Cross Method 會唔會太慢？

A: 其實熟練之後，Cross Method 係最快嘅方法之一。關鍵係要多練習，建立直覺，見到數字就大概知道邊個組合。考試時如果遇到複雜數字，可以先用二次公式驗證，但通常 Cross Method 會更快。

Q4: 有冇口訣可以幫助記憶？

A: 有！「首尾分解，交叉相乘，求和驗中」呢個口訣好實用。即係將二次項同常數項分解，然後交叉相乘，再將兩個積相加，睇下等唔等於一次項系數。記住呢個口訣，就唔會漏步驟。

Q5: Cross Method 喺 DSE 佔分重唔重？

A: 雖然冇直接標明佔分，但因式分解係基礎技能，好多題目都需要用到。無論係代數、函數定幾何，都有機會間接用到。所以學好 Cross Method 對整體成績有好大幫助。

總結

Cross Method 係香港中學數學不可或缺嘅技巧，只要掌握原理、多做練習，就能夠熟能生巧。記住要檢查符號、提取公因數，同埋系統咁嘗試組合。希望呢篇指南可以幫到你喺數學上更進一步！如果你仲想了解更多數學溫習貼士，歡迎瀏覽我哋網站嘅其他文章。