DSE數學 completing the square 完全平方攻略：技巧、例題與常見錯誤

概述

喺DSE數學科入面，completing the square（配方法）係一個極之重要嘅技巧，幾乎每年都會出現喺卷一或卷二。無論係解二次方程、求函數嘅極值、定抑或係畫拋物線圖像，配方法都係不可或缺嘅工具。對於準備DSE嘅同學嚟講，熟練掌握呢個技巧唔單止可以幫助你喺選擇題度快速得分，更能夠喺長題目度清晰展示步驟，攞足步驟分。

呢篇指南會由最基本嘅概念開始，逐步講解配方法嘅步驟、常見應用、以及同學成日犯嘅錯誤。我哋仲會提供大量DSE程度嘅例題同練習，等你真正掌握呢個技巧。無論你係中四剛開始學，定係中六準備應考，呢篇文章都會對你有極大幫助。

如果你需要更系統化嘅溫習，可以參考我哋嘅中學數學學習指南，或者瀏覽中學數學專區了解更多DSE數學嘅溫習資源。

什麼是 completing the square？

Completing the square（配方法）係一種將二次多項式 ax^2 + bx + c 轉換成 a(x - h)^2 + k 形式嘅代數技巧。呢個轉換過程可以幫助我哋更容易分析二次函數嘅性質，例如頂點坐標、對稱軸、最大值或最小值等。

喺DSE數學課程入面，配方法通常應用喺以下幾個範疇：

1. 解二次方程：將方程轉換成 (x - h)^2 = k 嘅形式，然後直接開方求解。
2. 求拋物線嘅頂點：頂點坐標就係 (h, k)，對稱軸就係 x = h。
3. 求函數嘅最大值或最小值：當 a > 0 時，函數有最小值 k；當 a < 0 時，函數有最大值 k。
4. 化簡積分或處理其他數學問題（雖然喺DSE課程中較少見，但大學數學經常會用到）。

基本形式

對於一個二次函數 y = ax^2 + bx + c，配方法嘅目標係將佢寫成：

y = a(x - h)^2 + k

其中 h = -b/(2a)，而 k = c - (b^2)/(4a)。

呢個形式叫做「頂點式」，因為頂點坐標直接就係 (h, k)。

配方法嘅詳細步驟

要熟練掌握配方法，你需要跟住以下步驟練習。我哋會用具體例子嚟示範。

步驟一：確保二次項係數為 1

如果 a ≠ 1，先將成條式除以 a（或者抽個 a 出嚟）。例如：

y = 2x^2 + 8x + 5

我哋可以寫成 y = 2(x^2 + 4x) + 5，注意只抽二次項同一次項，常數項暫時唔郁。

步驟二：將一次項係數一半嘅平方加減

睇住括號入面嘅 x^2 + 4x，一次項係數係 4，一半係 2，平方係 4。我哋要喺括號入面加 4 再減 4，保持整體值不變：

y = 2[(x^2 + 4x + 4) - 4] + 5

步驟三：將前三項寫成完全平方

x^2 + 4x + 4 可以寫成 (x + 2)^2，所以：

y = 2[(x + 2)^2 - 4] + 5

步驟四：展開並化簡

y = 2(x + 2)^2 - 8 + 5

y = 2(x + 2)^2 - 3

咁就完成配方法喇！而家我哋可以好清楚咁見到頂點係 (-2, -3)，對稱軸係 x = -2，因為 a = 2 > 0，所以函數有最小值 -3。

另一個例子（a = 1）

假設 y = x^2 - 6x + 10：

1. 一次項係數係 -6，一半係 -3，平方係 9。
2. 加減 9：y = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 10
3. 寫成完全平方：y = (x - 3)^2 + 1

所以頂點係 (3, 1)，最小值係 1。

配方法喺DSE嘅常見應用

1. 解二次方程

當你遇到一個二次方程 ax^2 + bx + c = 0，你可以用配方法嚟解，尤其係當方程唔能夠因式分解嘅時候。步驟如下：

例如：2x^2 + 8x - 5 = 0

1. 將常數項移去右邊：2x^2 + 8x = 5
2. 將二次項係數變為 1：x^2 + 4x = 5/2
3. 配方法：x^2 + 4x + 4 = 5/2 + 4
4. 化簡：(x + 2)^2 = 13/2
5. 開方：x + 2 = ±√(13/2)
6. 解得 x = -2 ± √(13/2)

呢個方法喺DSE卷一經常出現，尤其係當題目要求你「以根式表示答案」嘅時候。

2. 求拋物線嘅頂點同圖像

喺函數圖像題目中，配方法可以幫你快速畫出拋物線。例如：

y = -x^2 + 4x - 1

配方法：y = -(x^2 - 4x) - 1 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) - 1 = -(x - 2)^2 + 4 - 1 = -(x - 2)^2 + 3

所以頂點係 (2, 3)，因為 a = -1 < 0，開口向下，最大值係 3。

3. 求函數嘅極值

好多DSE題目會問「求函數嘅最大值或最小值」，其實就係配方法之後嘅 k 值。例如：

y = 3x^2 - 12x + 7

配方法：y = 3(x^2 - 4x) + 7 = 3(x^2 - 4x + 4 - 4) + 7 = 3(x - 2)^2 - 12 + 7 = 3(x - 2)^2 - 5

所以最小值係 -5，當 x = 2 時取得。

常見錯誤同陷阱

同學喺做配方法嘅時候，成日會犯以下錯誤，大家要特別留意：

錯誤一：忘記抽走二次項係數

例如 2x^2 + 8x，有同學會直接寫 (x + 4)^2，但其實應該係 2(x^2 + 4x) 先啱。記住，一定要先處理二次項係數。

錯誤二：加減嘅數值計錯

一次項係數一半嘅平方，好多同學會漏咗平方，或者計錯一半。例如 x^2 + 6x，一半係 3，平方係 9，但成日有人寫 3 或者 6。

錯誤三：忘記調整常數項

當你喺括號入面加咗一個數，外面必須要相應調整。例如 y = 2(x^2 + 4x + 4) - 8 + 5，有同學會漏咗 -8，搞到成條式錯。

錯誤四：符號混淆

當 a 係負數嘅時候，例如 -x^2 + 4x，要小心處理正負號。建議先抽負號出嚟：-(x^2 - 4x)，然後再配方法。

錯誤五：開方時忘記正負

解方程開方時，一定要寫 ±，否則會漏解。例如 (x + 2)^2 = 9，應該係 x + 2 = ±3，即 x = 1 或 x = -5。

實戰練習（DSE程度）

以下係一啲DSE風格嘅練習題，你可以試吓自己做，然後對答案。

題目1：將 y = x^2 + 10x - 3 寫成 y = (x - h)^2 + k 嘅形式，並求頂點坐標。

題目2：解方程 3x^2 - 6x - 2 = 0，答案以根式表示。

題目3：已知 y = -2x^2 + 8x + 1，求函數嘅最大值。

題目4：若 y = x^2 + kx + 9 嘅最小值係 0，求 k 嘅可能值。

題目5：將 y = 4x^2 - 4x + 5 配方法，並寫出對稱軸方程。

答案

題目1：y = (x + 5)^2 - 28，頂點 (-5, -28)

題目2：x = 1 ± √(5/3)（或者 x = (3 ± √15)/3）

題目3：最大值係 9（因為 y = -2(x - 2)^2 + 9）

題目4：k = ±6（因為 y = (x + k/2)^2 + 9 - k^2/4，最小值係 9 - k^2/4 = 0，所以 k^2 = 36）

題目5：y = 4(x - 1/2)^2 + 4，對稱軸 x = 1/2

如果你需要更多練習，可以參考我哋嘅中學數學練習資源，或者睇吓數學溫習技巧。

總結

Completing the square 係DSE數學一個核心技巧，你一定要熟練掌握。記住以下重點：

• 先處理二次項係數，確保括號入面二次項係數為 1。
• 一次項係數一半嘅平方，加完一定要減返。
• 留意正負號，特別係 a 為負數時。
• 配方法之後，頂點、對稱軸、極值一目了然。
• 解方程時，開方記得加 ±。

透過不斷練習，你一定可以喺DSE數學考試中輕鬆應付配方法相關題目。如果仲想了解更多DSE數學嘅重點技巧，歡迎瀏覽我哋網站嘅中學數學專區，或者睇吓其他學習指南。

祝大家DSE考試順利，數學攞高分！