Completing the Square 完全平方｜香港DSE數學必學技巧與步驟詳解

概述

喺香港DSE數學科入面，completing the square（中文通常叫「配方法」或「完全平方」）係一個極之重要嘅代數技巧，幾乎每年試卷都會出現。無論你係中三開始接觸二次函數，定係中五、中六準備迎戰DSE，掌握 completing the square 都係必不可少。

簡單嚟講，completing the square 就係將一個二次多項式 ax² + bx + c 改寫成 a(x + h)² + k 嘅形式。呢個變形看似簡單，但背後嘅應用非常廣泛：可以用嚟解二次方程、求二次函數嘅頂點（即最大值或最小值）、畫函數圖像，甚至喺積分同物理題目中都會用到。

對於香港學生嚟講，呢個技巧唔單止係考試必考，更加係日後學習高等數學嘅基石。好多同學覺得配方法好難，其實只要掌握當中的邏輯同步驟，就會發現佢同「執靚個正方形」一樣咁自然。本文會由淺入深，逐步拆解 completing the square 嘅原理、步驟、常見陷阱，以及喺DSE入面嘅實際應用，希望幫到大家喺數學科攞到更高分數。

咩係 Completing the Square？核心概念一次過搞清

Completing the square 嘅核心思想，就係將一個二次多項式「砌」返做一個完全平方（perfect square）再加一個常數。完全平方即係好似 (x + 3)² 或者 (2x - 1)² 呢類可以展開做 x² + 6x + 9 或者 4x² - 4x + 1 嘅表達式。

我哋知道 (x + p)² = x² + 2px + p²。如果我哋有一個表達式 x² + 6x，我哋可以觀察到 2p = 6，所以 p = 3，而 p² = 9。因此，x² + 6x 要變成完全平方，就需要加一個 9：x² + 6x + 9 = (x + 3)²。呢個「加一個數令佢變成正方形」嘅過程，就係配方法嘅精髓。

對於一般形式 ax² + bx + c，我哋通常會先將 a 抽出來（如果 a ≠ 1），然後對括號入面嘅 x² + (b/a)x 進行配方法。最終嘅形式係：

ax² + bx + c = a(x + b/2a)² + (c - b²/4a)

呢條公式好實用，但考試時好多時都要求你逐步做，所以明白步驟比死記公式更重要。

配方法詳細步驟：由淺入深示範

等我哋用具體例子一步步睇下點樣做 completing the square。

例一：當 a = 1 嘅簡單情況

配方法：x² + 8x + 5

步驟 1： 睇下 x 項嘅系數，即係 8。將佢除 2，得到 4。

步驟 2： 將呢個數平方，即係 4² = 16。

步驟 3： 將原式寫成 (x² + 8x + 16) - 16 + 5。我哋加咗 16 又減返 16，所以成個表達式嘅值冇變。

步驟 4： 而家 x² + 8x + 16 就係 (x + 4)²，所以原式等於 (x + 4)² - 11。

就係咁簡單！x² + 8x + 5 = (x + 4)² - 11。

例二：當 a ≠ 1 嘅情況（即系數唔係 1）

配方法：2x² - 12x + 7

步驟 1： 首先將 x² 嘅系數 2 抽出來：2(x² - 6x) + 7

步驟 2： 而家處理括號入面嘅 x² - 6x。x 項系數係 -6，除 2 得 -3，平方係 9。

步驟 3： 喺括號入面加 9 再減 9：2[(x² - 6x + 9) - 9] + 7 = 2[(x - 3)² - 9] + 7

步驟 4： 將 2 乘入去：2(x - 3)² - 18 + 7 = 2(x - 3)² - 11

所以 2x² - 12x + 7 = 2(x - 3)² - 11。

記住，當 a 唔係 1 嘅時候，一定要先抽 a 出嚟，否則好容易計錯數。

配方法喺二次方程嘅應用：解方程嘅另一途徑

除咗將表達式變形，completing the square 亦都可以用嚟解二次方程。雖然香港DSE入面，大部份學生都會用二次公式（quadratic formula）或者因式分解（factorization）嚟解方程，但配方法提供咗一個更根本嘅理解，而且喺某啲情況下（例如方程嘅根係無理數）會更加直接。

舉例：解方程 x² + 6x - 7 = 0

步驟 1： 將常數項移到右邊：x² + 6x = 7

步驟 2： 配方法：x² + 6x + 9 = 7 + 9（兩邊同時加 9）

步驟 3： 左邊變成 (x + 3)²，右邊係 16，所以 (x + 3)² = 16

步驟 4： 開方：x + 3 = ±4，所以 x = 1 或 x = -7

呢個方法嘅好處係，每一步都有清晰嘅邏輯，唔似二次公式咁要死記。而且，當你熟練之後，會發現佢同二次公式其實係同出一轍——二次公式本身就係由配方法推導出嚟嘅！

二次函數圖像：用配方法求頂點同最大值最小值

喺香港DSE數學嘅函數圖像題目中，completing the square 可以話係「神器」。因為將二次函數寫成 a(x - h)² + k 之後，我哋可以即刻知道：

• 頂點（vertex）嘅坐標就係 (h, k)
• 如果 a > 0，圖像開口向上，函數有最小值 k
• 如果 a < 0，圖像開口向下，函數有最大值 k
• 對稱軸就係直線 x = h

舉例：y = 2x² - 8x + 3

用之前嘅方法配方法：

y = 2(x² - 4x) + 3 = 2[(x - 2)² - 4] + 3 = 2(x - 2)² - 8 + 3 = 2(x - 2)² - 5

所以頂點係 (2, -5)，因為 a = 2 > 0，所以函數有最小值 -5，對稱軸係 x = 2。

呢個技巧喺好多應用題入面好有用，例如求最大利潤、最大面積、最小成本等等。只要將題目嘅關係式寫成二次函數，然後配方法，就可以好快搵到答案。

常見錯誤同實用貼士：避開陷阱，考試更安心

以下係香港學生做 completing the square 時最常犯嘅錯誤，大家記得留意：

錯誤	正確做法
忘記抽 a 出嚟就直接配方法	一定要先將 a 抽出來，再處理括號入面
加咗一個數但冇減返	加咗嘅數一定要喺適當位置減返，保持表達式值不變
符號搞錯（特別係負數）	小心處理負號，建議每一步都寫清楚
將 (x + p)² 展開錯	熟記 (x + p)² = x² + 2px + p²
喺方程兩邊加數時漏咗其中一邊	解方程時，兩邊一定要同時做相同運算

實用貼士：

1. 多做練習：配方法係一種技能，一定要透過大量練習先至熟練。每日做幾題，好快就會掌握。
2. 檢查答案：做完之後，可以將答案展開，睇下係咪同原本嘅表達式一樣。
3. 理解背後原理：唔好淨係死記步驟，要明白點解要「加一個數再減一個數」，咁樣先至可以靈活應變。
4. 結合圖像理解：畫圖嚟睇下頂點嘅位置，可以加深對配方法嘅理解。

配方法喺DSE嘅常見題型同溫習建議

喺香港DSE數學科（包括必修部分同延伸部分M1/M2），completing the square 通常會以下面呢啲形式出現：

• 直接配方法：將一個二次表達式寫成 a(x + h)² + k 嘅形式。
• 求頂點坐標：俾一個二次函數，要求寫出頂點同埋最大值/最小值。
• 解二次方程：用配方法解方程，特別係當方程唔能夠因式分解嘅時候。
• 圖像變換：描述 y = ax² 點樣平移得到 y = a(x - h)² + k。
• 應用題：例如拋物線運動、最大面積等。

對於準備DSE嘅同學，建議可以咁樣溫習：

1. 基礎鞏固：先確保自己熟練處理 a = 1 嘅情況，再挑戰 a ≠ 1。
2. 計時練習：喺限定時間內完成配方法題目，提升速度同準確度。
3. 真題操練：搵歷屆DSE同會考題目嚟做，了解出題模式。
4. 錯題本：將自己做錯嘅題目記錄低，分析錯誤原因，避免重蹈覆轍。

如果你覺得學校嘅數學課程有困難，或者想搵更多練習資源，可以參考我哋嘅選校指南了解唔同學校嘅教學特色，或者瀏覽中學版面睇下其他同學嘅學習心得。對於仲讀緊小學嘅同學，提早打好數學基礎都好重要，可以睇下小學嘅相關文章。

總結：掌握配方法，數學成績更上一層樓

Completing the square 唔單止係一個考試技巧，更加係一種數學思維。佢教曉我哋點樣將複雜嘅問題轉化為簡單嘅形式，從而更容易分析同解決。喺香港嘅教育制度下，呢個技巧嘅重要性點樣強調都唔過分。

只要跟住以上嘅步驟，多加練習，留意常見錯誤，相信每一位同學都可以好好掌握 completing the square。無論你而家係中三定中六，都唔好怕呢個課題，因為佢真係「一點就明」！

如果你對於數學學習有其他疑問，或者想了解更多學習貼士，歡迎繼續瀏覽 SchoolDays.com.hk 嘅學習資源同幼稚園至中學嘅相關資訊。我哋會持續為香港家長同學生提供實用、清晰嘅教育內容。

祝大家學習順利，DSE攞到好成績！