Completing Square DSE 攻略：配方法步驟、例題與常見錯誤
一文掌握 completing square DSE 必考重點！從配方法基本步驟、二次函數圖像頂點到常見陷阱，配合清晰例題與練習建議，助你喺DSE數學科穩奪分數。立即睇SchoolDays完整指南！
概述
喺香港DSE數學科（必修部分）中，completing square dse（配方法）係一個極之重要嘅課題，幾乎每年都會出現喺卷一或卷二。無論係解二次方程、求二次函數嘅極值，定係描繪拋物線圖像，配方法都係不可或缺嘅工具。好多同學喺初中時已經學過基本概念，但到咗DSE程度，題目往往會結合圖像變換、不等式或者應用題，令難度大增。
呢篇指南會由零開始，逐步拆解配方法嘅原理同步驟，再透過典型例題示範點樣應用，最後列出常見錯誤同溫習建議，幫你穩固基礎，應付DSE嘅挑戰。如果你需要更系統化嘅溫習材料，可以參考我哋嘅學習指南，或者瀏覽中學專區嘅其他數學文章。
配方法嘅基本概念
配方法（Completing the Square）嘅核心目的，係將一個二次多項式 ax² + bx + c 轉換成 a(x + h)² + k 嘅形式。呢個形式叫做「頂點式」，因為佢直接顯示咗拋物線嘅頂點座標 (-h, k)。
點解要學配方法？因為佢有幾個重要用途：
- 解二次方程：當方程唔容易因式分解時，配方法可以確保搵到實數解。
- 求極值：二次函數嘅最大值或最小值就係 k（當 a > 0 時係最小值，當 a < 0 時係最大值）。
- 描繪圖像：知道頂點同開口方向，就可以快速畫出拋物線。
- 化簡積分（延伸部分）：喺M1/M2都會用到，但必修部分主要集中喺上述三點。
配方法嘅標準步驟
假設你要將 y = ax² + bx + c 配成頂點式，可以跟住以下步驟：
- 抽出 a（如果 a ≠ 1）：將 a 抽出來，寫成 y = a(x² + (b/a)x) + c。
- 將 x² 項同 x 項配成完全平方：睇住 x² + (b/a)x，我哋要加減 (b/(2a))²。因為 (x + b/(2a))² = x² + (b/a)x + (b/(2a))²，所以喺括號入面加 (b/(2a))²，再喺外面減返 a 乘嗰個數，以保持等式成立。
- 化簡常數項：將 c 同 a 乘嘅部分合併，得到 k。
舉個具體例子：
例題 1：將 y = x² + 6x + 5 配成頂點式。
- 因為 a = 1，唔使抽。
- 睇 x² + 6x，一半係 3，所以加 3² = 9。
- 寫成 y = (x² + 6x + 9) - 9 + 5 = (x + 3)² - 4。
所以頂點係 (-3, -4)，開口向上，最小值係 -4。
例題 2：將 y = 2x² - 8x + 7 配成頂點式。
- 抽出 2：y = 2(x² - 4x) + 7。
- 喺括號入面，x² - 4x 嘅一半係 -2，加 (-2)² = 4。
- 寫成 y = 2[(x² - 4x + 4) - 4] + 7 = 2[(x - 2)² - 4] + 7 = 2(x - 2)² - 8 + 7 = 2(x - 2)² - 1。
頂點係 (2, -1)，因為 a = 2 > 0，所以有最小值 -1。
配方法喺DSE嘅常見題型
喺DSE數學科，配方法通常會以下列形式出現：
| 題型 | 例子 | 考核重點 |
|---|---|---|
| 解二次方程 | 用配方法解 x² - 4x - 1 = 0 | 步驟準確性、根式化簡 |
| 求極值 | 求 y = -x² + 6x + 2 嘅最大值 | 頂點座標、開口方向 |
| 圖像變換 | y = (x - 2)² + 3 由 y = x² 點樣平移？ | 平移概念 |
| 應用題 | 最大面積、最大利潤問題 | 建立模型再配方法 |
解二次方程嘅示範
例題 3：解方程 x² - 4x - 1 = 0。
- 移項：x² - 4x = 1。
- 配方法：x² - 4x + 4 = 1 + 4（因為 (-2)² = 4）。
- 得 (x - 2)² = 5。
- 開方：x - 2 = ±√5。
- 所以 x = 2 ± √5。
呢個方法確保你唔會漏咗負根，而且答案以根式表示，符合DSE要求。
求極值嘅應用
例題 4：某公司嘅利潤函數係 P(x) = -5x² + 40x - 20，其中 x 係售價（單位：百元）。求最大利潤。
- 配方法：P(x) = -5(x² - 8x) - 20 = -5[(x - 4)² - 16] - 20 = -5(x - 4)² + 80 - 20 = -5(x - 4)² + 60。
- 因為 a = -5 < 0，所以當 x = 4 時，有最大值 60（百元）。
呢類題目喺DSE卷二（MC）成日出現，同學要熟練。
常見錯誤同陷阱
好多同學喺做completing square dse題目時，會犯以下錯誤：
- 忘記抽 a：如果 a ≠ 1，直接將 b 除以 2 就會錯。例如 y = 2x² + 8x，正確係抽 2 出嚟，再處理 x² + 4x，但好多同學會當咗 x² + 8x。
- 加減數唔平衡：加咗一個數，必須喺外面減返相同嘅數（乘以 a 之後）。例如 y = 2(x² + 4x) + 1，加 4 喺括號入面，外面要減 2×4 = 8，唔係減 4。
- 符號混淆：頂點座標係 (-h, k)，例如 y = (x - 3)² + 2，頂點係 (3, 2)，唔係 (-3, 2)。
- 開方時漏 ±：解方程時，開方一定要寫 ±，否則會漏解。
- 化簡根式唔徹底：例如 √8 要寫成 2√2，DSE會扣分。
建議同學做練習時，每一步都寫清楚，特別係抽 a 同平衡加減嘅步驟，避免跳步。
溫習建議同資源
要掌握配方法，冇捷徑，只有多練習。以下係一啲實用建議：
- 每日做 3-5 題：由基本配方法開始，再進階到應用題。
- 整理錯題本：將自己成日錯嘅步驟記低，考試前重溫。
- 利用歷屆試題：考評局公開嘅DSE試題（HKDSE）係最好嘅練習，可以熟悉出題模式。
- 配合圖像理解：用繪圖軟件（例如 GeoGebra）睇下配方法點樣改變拋物線嘅位置，加深印象。
如果你需要系統化嘅課程，可以參考我哋嘅學習指南，入面有更多數學課題嘅詳細解說。另外，如果屋企有細路讀緊小學，都可以睇下小學專區，打好基礎；幼稚園階段就可以睇幼稚園嘅資源。
總結
Completing square dse 係一個必考嘅技巧，但絕對唔難掌握。只要明白原理、熟記步驟，再配合適量練習，你都可以輕鬆應付。記住，配方法唔單止係一個運算工具，更係理解二次函數圖像嘅鑰匙。考試時，保持冷靜，小心處理每一步，避免 careless mistakes，咁就穩陣。
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