Circumcentre 外心完全指南：定義、公式與解題技巧（香港數學課程適用）

概述

喺香港中學數學課程入面，三角形嘅「四心」（外心、內心、重心、垂心）係幾何學嘅核心概念，尤其喺 DSE 數學科嘅 Paper 2 同埋校本評核中經常出現。今日我哋會聚焦喺 circumcentre（外心），用最清晰嘅方法解釋佢嘅定義、性質、計算公式，以及點樣應用喺解題之中。無論你係中三開始接觸幾何，定係中五、中六準備 DSE，呢篇指南都可以幫你打好基礎，避免常見陷阱。

咩係 Circumcentre（外心）？

Circumcentre（外心） 係指一個三角形三條邊嘅垂直平分線（perpendicular bisectors） 嘅交點。呢個點有一個獨特性質：佢到三角形三個頂點嘅距離係完全相等嘅。換句話說，如果以 circumcentre 為圓心，以呢個共同距離為半徑畫一個圓，三個頂點都會喺呢個圓上面，呢個圓就叫做外接圓（circumcircle），而 circumcentre 就係外接圓嘅圓心。

點樣搵出 Circumcentre？

要搵出一個三角形嘅 circumcentre，步驟好簡單：

1. 畫出其中兩條邊嘅垂直平分線（即係穿過邊嘅中點，同邊成 90° 嘅直線）。
2. 呢兩條線嘅交點就係 circumcentre。
3. 理論上，第三條邊嘅垂直平分線都會經過同一點，所以可以用嚟驗證。

位置嘅三種情況

Circumcentre 嘅位置會因為三角形嘅形狀而有所不同：

• 銳角三角形（acute triangle）：circumcentre 喺三角形內部。
• 直角三角形（right triangle）：circumcentre 就係斜邊嘅中點（呢個係一個好重要嘅性質，好多題目會直接考）。
• 鈍角三角形（obtuse triangle）：circumcentre 喺三角形外部。

呢一點同內心（incentre）永遠喺三角形內部唔同，同學好容易混淆，要特別留意。

Circumcentre 嘅核心性質

理解 circumcentre 嘅性質，可以幫助你快速解題，唔使每次都畫圖。以下係最常考嘅幾點：

1. 等距性質：OA = OB = OC（O 為 circumcentre，A、B、C 為頂點），呢個距離就係外接圓半徑 R。
2. 外接圓半徑公式：對於任意三角形，半徑 R 可以用以下公式計算： [ R = \frac{abc}{4\Delta} ] 其中 a、b、c 係三邊長度，Δ 係三角形面積。
3. 直角三角形特例：如果三角形係直角三角形，咁 circumcentre 就係斜邊中點，而 R = 斜邊長度的一半。
4. 圓周角定理：因為三個頂點都喺外接圓上，所以任何一個圓周角（inscribed angle）都會等於對應圓心角（central angle）嘅一半。例如，∠BAC = ½ ∠BOC。

呢啲性質喺證明題同計算題中都好有用，尤其係當題目同時涉及圓形同三角形嘅時候。

計算 Circumcentre 嘅坐標方法

喺座標幾何（coordinate geometry）題目中，circumcentre 通常會以坐標形式出現。假設三角形三個頂點係 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)、C(x₃, y₃)，我哋可以用以下方法搵出 circumcentre O(x, y)：

方法一：利用垂直平分線

1. 計算 AB 嘅中點 M_AB = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)。
2. 計算 AB 嘅斜率 m_AB = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)，然後垂直平分線嘅斜率就係 -1/m_AB（如果 m_AB 係 0，垂直平分線就係垂直線 x = 常數）。
3. 用點斜式寫出 AB 嘅垂直平分線方程。
4. 同樣方法寫出 AC（或 BC）嘅垂直平分線方程。
5. 聯立兩條方程，解出 x 同 y，就得到 circumcentre 坐標。

方法二：利用等距性質（較快）

因為 OA² = OB² = OC²，所以可以建立兩個方程：

• (x - x₁)² + (y - y₁)² = (x - x₂)² + (y - y₂)²
• (x - x₁)² + (y - y₁)² = (x - x₃)² + (y - y₃)²

展開之後，二次項會互相抵消，變成兩個線性方程，然後解方程組即可。呢個方法喺考試入面慳時間，因為唔使計斜率同中點。

例子

考慮三角形 A(1, 2)、B(3, 4)、C(5, 0)。用等距性質：

設 O(x, y)，由 OA² = OB²： (x-1)² + (y-2)² = (x-3)² + (y-4)² 展開：x² -2x +1 + y² -4y +4 = x² -6x +9 + y² -8y +16 化簡：-2x -4y +5 = -6x -8y +25 => 4x + 4y = 20 => x + y = 5 ... (1)

由 OA² = OC²： (x-1)² + (y-2)² = (x-5)² + y² 展開：x² -2x +1 + y² -4y +4 = x² -10x +25 + y² 化簡：-2x -4y +5 = -10x +25 => 8x -4y = 20 => 2x - y = 5 ... (2)

解 (1) 同 (2)：由 (1) y = 5 - x，代入 (2)：2x - (5 - x) = 5 => 3x - 5 = 5 => 3x = 10 => x = 10/3，y = 5 - 10/3 = 5/3。所以 circumcentre 係 (10/3, 5/3)。

常見題型與解題步驟

喺學校測驗或 DSE 中，circumcentre 相關題目通常會以以下形式出現：

題型一：判斷三角形類型

題目會問：「如果一個三角形嘅 circumcentre 喺三角形外部，呢個三角形係咩類型？」答案就係鈍角三角形。呢類題目考你對位置嘅理解，只要記住三種情況就冇問題。

題型二：求外接圓半徑

通常會俾三邊長度，然後用公式 R = abc / (4Δ)。你需要先計面積 Δ，可以用海倫公式（Heron's formula）或者底乘高。

步驟：

1. 用海倫公式：s = (a+b+c)/2，Δ = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]。
2. 代入 R = abc / (4Δ)。

題型三：座標平面求 circumcentre

如上例所示，用等距性質建立方程，然後解方程。呢類題目喺 DSE Paper 2 好常見，通常係選擇題，所以熟練方程化簡好重要。

題型四：證明題

例如：「證明直角三角形嘅 circumcentre 係斜邊中點。」你可以用圓形性質：因為直角所對嘅邊（斜邊）係直徑（根據圓周角定理，90° 圓周角對應直徑），所以圓心一定喺直徑中點，即斜邊中點。

學習建議與常見陷阱

學習建議

• 畫圖理解：初學者一定要多畫不同類型嘅三角形，親手畫出垂直平分線，觀察 circumcentre 位置變化。
• 記住關鍵性質：等距性質、直角三角形特例、圓周角定理，呢三個係最常考。
• 練習座標計算：每日做一兩題座標求 circumcentre，熟能生巧。

常見陷阱

1. 混淆外心同內心：外心係垂直平分線交點，內心係角平分線交點，位置同性質都唔同。
2. 鈍角三角形嘅外心位置：好多同學以為外心一定喺三角形內部，其實鈍角三角形嘅外心喺外面。
3. 忽略垂直平分線嘅斜率：當邊嘅斜率係 0 或者無限大時，垂直平分線會係垂直或水平線，要小心處理。
4. 計算粗心：喺展開方程時，二次項抵消後，符號好容易出錯，建議每一步都檢查。

總結

Circumcentre（外心）係三角形幾何中一個重要嘅點，佢嘅定義、性質同計算方法都係 DSE 數學嘅考核重點。透過理解垂直平分線嘅概念、記住三種位置情況、熟練等距性質嘅坐標計算法，你就能夠輕鬆應對相關題目。記住，多練習、多畫圖，自然就會掌握。如果同學想進一步鞏固幾何知識，可以參考我哋嘅中學數學學習資源，或者瀏覽小學數學基礎打好底子。對於家長嚟講，了解呢啲概念都可以幫仔女溫習時提供適切指導，詳情可睇選校指南。

希望呢篇指南對你有幫助，祝你數學成績更上一層樓！