Circle Equation 圓方程完全指南：香港 DSE 數學必修技巧與例題

概述

喺香港中學文憑試（DSE）數學科，circle equation（圓方程）屬於座標幾何一課嘅核心內容，幾乎每年必出。同學往往覺得圓方程有好多公式要背，但其實只要掌握基本概念同轉換技巧，就可以應付唔同題型。呢篇指南會由最基礎嘅圓方程標準式講起，再逐步拆解常見難位，例如用已知三點求圓方程、找出圓與直線嘅相交情況、切線方程等等，並附上詳盡例題同解題步驟，希望幫助你喺課堂及試場上面對圓方程問題時更有把握。

圓方程嘅兩種標準形式

標準式（一般式）

圓方程最常見嘅形式係：

((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2)

呢度 ((h, k)) 係圓心座標，(r) 係半徑（大於零）。例如圓心(3, -2)，半徑 4，方程即係：((x-3)^2 + (y+2)^2 = 16)。呢個形式最容易直接讀出圓心同半徑，所以好多題目都會俾呢種方程你圈出資訊。

一般式（展開式）

當將標準式括號展開，會得到：

(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0)（注意通常寫成 (x^2+y^2+Dx+Ey+F=0)）

呢個形式方便計算，但圓心就唔係一眼睇出。透過整理：

[ (x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) = -F ]

用配方法（completing the square），我哋可以將佢變返標準式，從而搵到圓心 ((\frac{-D}{2}, \frac{-E}{2})) 同半徑 (r = \sqrt{\frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}})。

呢兩個形式需要非常熟悉之間互換，呢個係circle equation題目嘅基本功。

由已知條件如何求圓方程

DSE 常見題目會俾你三個點，或者圓心加一點，要求寫出方程。以下係常見情況。

已知圓心和半徑

最直接，代入標準式就得。例如圓心 ((2, 1))，半徑 3，方程就係 ((x-2)^2 + (y-1)^2 = 9)。小心半徑要開方，例如半徑平方是 25，代入時要記得 25。

已知一直徑兩端點 (A(x_1, y_1)) 同 (B(x_2, y_2))

圓心就係直徑嘅中點：(h = \frac{x_1 + x_2}{2})，(k = \frac{y_1 + y_2}{2})。半徑可以計 A 到圓心距離，或直接叫佢 (r = \frac{1}{2}\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2})。所以方程唔難寫出。

已知三點（唔共線）

呢個係熱門考試題。方法係將三點代入一般式 (x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0)，得到三個三元聯立方程式，然後解出 D、E、F。呢個步驟要小心運算，特別係DSE容許用計算機，你可以利用程式或就咁解題。解得 D, E, F 之後，再利用配方法求出圓心同半徑。

例題：求通過點 (A(0, 0))，(B(4, 2)) 同 (C(3, 5)) 的圓方程。

• 代入 A：(0 + 0 + 0 + 0 + F = 0) 所以 F=0。
• 代入 B：(16+4+4D+2E=0 ) 得到 (4D+2E = -20)，簡化為 (2D+E = -10)。（式1）
• 代入 C：(9+25+3D+5E=0)，即 (34+3D+5E = 0)，所以 (3D+5E = -34)。（式2）

由式1得到 E = -10 - 2D，代入式2：(3D+5(-10-2D) = -34)，計出 3D -50 -10D = -34 → -7D = 16 → D = -16/7。再代返，得 E = -10 + 32/7 = (-70+32)/7 = -38/7。 所以方程為 (x^2 + y^2 - (16/7)x - (38/7)y = 0)，你可預約乘 7 變成 3x^2 + 7y^2 -16x -38y = 0（注意一般不能約，因為係座標）。

圓與直線的位置關係及切線方程

圓方程仲涉及圓周上一點切線，同直線同圓相交問題。

判別直線與圓相交，相切定或分離

將直線方程（通常 y = mx + c）代入圓方程，得出一個二次方程。判別式 Δ = b^2 - 4ac：

• Δ > 0：相交兩點（割線）
• Δ = 0：相切（一條切線）
• Δ < 0：沒有交點（分離）

呢個判別法快捷，考評局極度喜愛，必須熟練。

切線方程公式

對於圓心為 ((h,k))，圓上一點 ((x_1, y_1))，切線方程可以用：

((x_1 - h)(x - h) + (y_1 - k)(y - k) = r^2)

但對一般式 (x^2+y^2+Dx+Ey+F=0)，喺點 ((x_1,y_1)) 的切線公式係：

(xx_1 + yy_1 + \frac{D}{2}(x+x_1) + \frac{E}{2}(y+y_1) + F = 0)

記住呢個公式，做題就可以直接套用，所以有左勁。

除此之外，亦可以利用圓心與切點連線嘅斜率（垂直）嚟計：圓心到切點向量斜率為 (m_c)，切線斜率係 -1/m_c，再通過切點求直線。呢個方法都好重要，尤其你唔想記公式。

圓方程實戰：弦長與中點問題

弦（chord）係日常變體。圓心到弦嘅垂直距離與弦長關係：設弦長為 L，半徑 r，圓心到弦垂直距離 d，則 (L = 2\sqrt{r^2 - d^2})。

如果圓方程已知，求過某一定點嘅平行弦最長問題，或垂直一線嘅切線等，其實都輔以垂直距離概念。另外，若一個 chord 嘅中點座標已知，可以利用圓心連線的垂直平分線，找出弦所在直線。

例：圓方程 (x^2+y^2-6x+8y+25=0)，化為標準式：((x-3)^2+(y+4)^2 = 9+16-25+? 等，直接配方：(x^2-6x = (x-3)^2-9)，(y^2+8y=(y+4)^2-16)，全代：((x-3)^2+(y+4)^2-9-16+25 = 0) 所以 ((x-3)^2+(y+4)^2=0)？咁即係半徑為0，唔可能。睇真：係 ((x-3)^2+(y+4)^2 -9 -16 +25 = 0) → ((x-3)^2+(y+4)^2 = 0) 即圓半徑0，退化點。可能原方程有誤。請大家計算時要小心常數值。我再整理一個正確例：圓方程一般式 (x^2+y^2-4x+2y+1=0)，配方法：(x^2-4x=(x-2)^2-4)，(y^2+2y=(y+1)^2-1)，代入：((x-2)^2+(y+1)^2 -4-1+1=0) 即 ((x-2)^2+(y+1)^2=4)，所以圓心(2,-1)，半徑2。

呢個例子教你咗化簡要留意常數項，唔好錯。

掌握圓方程應試技巧

• 快完成平方：每次讀到一般式，第一時間分配係 x 同 y。
• 善用「圓心到直線距離」公式：若直線 (Ax+By+C=0) 及圓心 ((h,k))，距離 (d = \frac{|Ah+Bk+C|}{\sqrt{A^2+B^2}})，與半徑尺寸比較，即得相交情況，不需要計判別式，更快。
• 代入驗證：求完方程後，代返已知點，確保0。
• 注意直線斜率不存在：例如垂直線 x = h + r 的情況，不能純用斜率。

練習建議及答案思路

練習時可參考歷屆 DSE 試卷及教科書題目，特別留意評核網絡 (M2 亦有可能)。對於需要增強信心嘅同學，可以按以下步驟：

1. 限時完成 5 題基礎圓方程寫出題（給圓心半徑）
2. 進深：三點求圓方程 5 題
3. 應用：圓與直線切線及弦長 5 題

另外，唔好忽視配方法嘅速度，每日做 10 題開左手感。

常見誤區及 FAQ

好多同學會將圓方程同其他二次曲線混淆，又或者配方法預鬆。寫草稿時記得步步清楚。

總結

圓方程係穩拿分題目，只要熟練標準式與一般式互換，運用距離公式及相切條件，就可以解決大部分考題。建議將呢篇文章收藏，溫書時參考。如果你對本地學校選科或數學自修有問題，可一睇選校指南及中學頁面為你提供全方位資訊。小學階段想更早準備？可以睇小學及幼稚園相關計劃，提早打好數學底子。

最後提醒，Circle equation 呢個課題與直線方程、距離公式、二次方程等密切相關，必得揾時間組合練習。祝各位 DSE 考生攞好成績！

FAQ

問：圓方程裡嘅「圓心」同「半徑」一定可以直接睇出？ 答：只有標準式先得，一般式要透過配方法化簡先可以讀出。留意一般式係 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，圓心係 (-D/2, -E/2)，半徑係 sqrt((D^2+E^2)/4 - F)。

問：如果圓心同另一點求方程，半徑點計？ 答：半徑等於圓心到該點嘅距離，即用兩點距離公式計算。

問：直線與圓「相交」兩點，可唔可以計條弦長？ 答：可以，利用距離公式求圓心到直線距離，再用 L = 2*sqrt(r^2 - d^2)。

問：切線方程公式記唔記得？ 答：喺點 (x1,y1) 嘅切線方程可以寫成 (x-h)(x1-h) + (y-k)(y1-k) = r^2，或者用一般式代入 xxx1 + yy1 + (D/2)(x+x1) + (E/2)(y+y1) + F = 0。

問：三點求圓方程係咪一定要代一般式？ 答：係最直接方法，但其實仲可以搵圓心係前兩條中垂直線相交點，再用距離求半徑，不過一般式解方程更直觀。

希望呢篇指南幫到你，若果想睇更多數學技巧，可以瀏覽我哋學習貼士分類。