Arithmetic Sequence 等差數列完全指南：香港DSE數學必學技巧

概述

在數學學習中，arithmetic sequence（等差數列） 是其中一個最基礎且重要的概念，無論是初中、高中，還是DSE數學科，都會經常見到它的蹤影。簡單來說，等差數列就是一串數字，當中每一項與前一項的差（稱為「公差」）保持不變。例如：2, 5, 8, 11, 14……這就是一個公差為3的等差數列。

對於香港學生而言，掌握等差數列不僅能應付考試，更能訓練邏輯思維。本文會由淺入深，為你拆解等差數列的定義、通項公式、求和公式，並提供大量DSE常見題型及解題技巧，最後附上實用FAQ，幫助你全面掌握這個課題。

等差數列的基本定義

Arithmetic sequence 是指一個數列，其中任意相鄰兩項的差（common difference，記為 d）是常數。數學上，若數列的第 n 項記為 aₙ，則對於所有 n ≥ 1，都有：

aₙ₊₁ - aₙ = d

例如：

• 3, 7, 11, 15（d = 4）
• 20, 15, 10, 5（d = -5）
• 1, 1, 1, 1（d = 0，也是等差數列）

要注意，公差可以是正數、負數或零。當 d > 0 時，數列遞增；當 d < 0 時，數列遞減；當 d = 0 時，數列是常數列。

通項公式（n-th term）

等差數列的第 n 項（通常以 aₙ 表示）可以用以下公式計算：

aₙ = a₁ + (n - 1) × d

其中 a₁ 是首項，d 是公差。這個公式是解決等差數列問題的核心。

例題1：求第20項

數列：5, 9, 13, 17…… 首項 a₁ = 5，公差 d = 4。 第20項 a₂₀ = 5 + (20 - 1) × 4 = 5 + 76 = 81。

例題2：已知某項，求項數

數列：2, 8, 14, 20……問哪一項等於 92？ 首先 a₁ = 2，d = 6。設 aₙ = 92， 2 + (n - 1) × 6 = 92 (n - 1) × 6 = 90 n - 1 = 15 n = 16 所以第16項是 92。

求和公式（Sum of n terms）

等差數列的前 n 項和（記為 Sₙ）有兩個常用公式：

1. Sₙ = n/2 × [2a₁ + (n - 1) × d]
2. Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ)

第二個公式特別好用，因為只需要知道首項和末項。

例題3：求和

求等差數列 10, 7, 4, 1……的前12項之和。 這裡 a₁ = 10，d = -3，n = 12。 用公式1：S₁₂ = 12/2 × [2×10 + (12-1)×(-3)] = 6 × [20 - 33] = 6 × (-13) = -78。

例題4：已知和，求項數

某等差數列的首項是 3，公差是 2，前 n 項和是 120，求 n。 3 + (n-1)×2 = aₙ，但我們直接用求和公式： Sₙ = n/2 × [2×3 + (n-1)×2] = 120 n/2 × (6 + 2n - 2) = 120 n/2 × (2n + 4) = 120 n × (n + 2) = 120 n² + 2n - 120 = 0 (n + 12)(n - 10) = 0 n = 10（負數捨去） 所以共有10項。

DSE常見題型與解題技巧

在DSE數學科，等差數列經常與其他課題結合，例如：

• 應用題：例如樓梯級數、利息計算（單利）、排列問題等。
• 數列與函數：將等差數列視為線性函數，利用圖像理解。
• 混合題：與等比數列（geometric sequence）一同出現，要求分辨。

解題步驟建議

1. 辨認數列類型：檢查相鄰兩項的差是否恆定。
2. 列出已知量：a₁、d、n、aₙ、Sₙ，看看題目給了哪些。
3. 選擇合適公式：若涉及「第幾項」，用通項公式；若涉及「總和」，用求和公式。
4. 小心負公差：當 d 為負數時，數列會遞減，求和時要留意符號。

常見陷阱

• 混淆「項數」與「第 n 項」：例如「前10項之和」的 n 是10，但「第10項」的 n 也是10，但計算不同。
• 忘記公差可以是負數：例如 10, 7, 4…… 公差是 -3，不是 3。
• 應用題中，首項未必是第1項，可能是第0項（例如年份），要小心閱讀題目。

溫習建議與資源

要熟練掌握 arithmetic sequence，建議香港學生：

1. 多做練習：從教科書的基礎題開始，再到DSE past paper 題目。
2. 製作筆記：將公式、例題、常見錯誤整理成個人筆記。
3. 利用網上資源：可參考教育局網頁或學校提供的教材，亦可瀏覽 SchoolDays 學習資源 獲取更多技巧。

此外，數學是一門累積的學科，等差數列是學習其他數列（如等比數列）的基礎，因此必須打好根基。如果同學在學習上遇到困難，不妨與老師討論，或參加補習班。

常見問題（FAQ）

問題1：等差數列和等比數列有什麼分別？

等差數列（arithmetic sequence）中，每一項與前一項的差是常數；等比數列（geometric sequence）中，每一項與前一項的比是常數。例如 2, 4, 6, 8 是等差（公差2），而 2, 4, 8, 16 是等比（公比2）。

問題2：如果公差是分數或小數，如何處理？

處理方法完全相同，只需小心計算。例如數列 1/2, 1, 3/2, 2…… 公差是 1/2。通項公式依然適用，計算時可使用分數或小數，但建議統一格式，避免出錯。

問題3：DSE數學科會考等差數列的應用題嗎？

會。DSE數學科（必修部分）經常出現等差數列的應用題，例如計算階梯總高度、存款利息（單利）等。同學應熟練將現實情境轉化為數列模型。

問題4：如何快速判斷一個數列是否為等差數列？

只需檢查任意連續三項，若 a₂ - a₁ = a₃ - a₂，則很大機會是等差數列。但最穩妥的方法是計算所有相鄰兩項的差，若全部相等即為等差數列。

問題5：有沒有記憶公式的竅門？

可以這樣理解：通項公式就像「首項 + (n-1) 個公差」，而求和公式則是「平均數 × 項數」，即 (首項+末項)/2 × n。將公式與實際例子結合，記憶會更深刻。

總結

Arithmetic sequence（等差數列） 是香港數學課程中不可或缺的一部分，掌握其定義、通項公式及求和公式，能幫助你解決大量數學問題。透過本文的講解和例題，希望你能更自信地面對相關考試題目。

如果想了解更多學習技巧，歡迎瀏覽我們的 選校指南、小學、中學 或 幼稚園 專頁，獲取更多教育資訊。

祝學業進步！